BZOJ 2318: Spoj4060 game with probability Problem 概率

2318: Spoj4060 game with probability Problem

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Description

Alice和Bob在玩一个游戏。有n个石子在这里，Alice和Bob轮流投掷硬币，如果正面朝上，则从n个石子中取出一个石子，否则不做任何事。取到最后一颗石子的人胜利。Alice在投掷硬币时有p的概率投掷出他想投的一面，同样，Bob有q的概率投掷出他相投的一面。

现在Alice先手投掷硬币，假设他们都想赢得游戏，问你Alice胜利的概率为多少。

Input

第一行一个正整数t，表示数据组数。

对于每组数据，一行三个数n，p，q。

Output

对于每组数据输出一行一个实数，表示Alice胜利的概率，保留6位小数。

Sample Input

1

1 0.5 0.5

Sample Output

0.666667

HINT

数据范围：

1<=t<=50

0.5<=p,q<=0.99999999

对于100%的数据 1<=n<=99999999

题解：

fi 表示剩 i 个石头、 A 先手的获胜概率。 
gi 表示剩 i 个石头、 A 后手的获胜概率。

如果想选，对于 fi： 
有 p 的概率进入 gi−1 ；有 1−p 的概率进入 gi 
所以 fi=p∗gi−1+(1−p)∗gi

如果想选，对于 g(i)： 
有 q 的概率进入 fi−1 ；有 1−q 的概率进入 fi 
所以 gi=q∗fi−1+(1−q)∗fi

整理得：

fi=p∗gi−1+(1−p)∗q∗fi−11−(1−p)∗(1−q)

gi=q∗fi−1+(1−q)∗p∗gi−11−(1−p)∗(1−q)

然后剩 i 个石头时A的想不想选的意愿与 fi−1、gi−1 的大小关系有关。 
fi−1>gi−1 都不想选。 
fi−1<gi−1 都想选。 
然后对于不想选的情况，那么 p=1−p，q=1−q 就行了。

然而这样就没法用矩阵乘法了。。。 
就需要黑科技，，当n很大时，其实概率已经基本不动了，，让n=min(n,1000)就好了Qwq。

%%%%%http://blog.csdn.net/Vmurder/article/details/46467899

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