机器学习算法之K-means-spark

1 聚类

简单回顾一下：

首先，随机在点群中选取K个点，作为划分聚落的种子点；

然后，求点群中所有的点到这K个点的距离；

接下来，将离种子点近的点都移动到种子点附近；

最后，不断重复第二和第三步，直到没有点需要移动了。

以上只是一个概念的解释，我想这种问题还是必须看看公式才能清楚理解：

1、随机选取K个种子点，设为μ1......μk;

2、对点群中的每一个点计算公式：

argminj||xi−μj||，得到最小距离的那个种子点的J。

即该点属于K个类别中的cj类。

3、这次所有点都计算完毕就完事了吗？

当然不是了，毕竟种子点也是瞎选的，一般情况都不是最优的分类。所以需要迭代计算新聚落的质心。算出的质心又被拿出来当种子点继续重复第二步。

最后直到质心的位置基本不变为止，基本可以确定聚落情况。

2 聚类与EM

当我们在对点群进行聚类的时候，是不知道每个点的具体类别的。所以第一次我们指定x这个样本的类别假设为y。

通过极大似然估计，是可以衡量（x，y）这个分类的可能性的。

所以现在可以先调节其他参数让当前条件下的极大似然P（x，y）的可能性最大。

y这个类别是我们随便选的，就算现在情况下可能性已经最好了，但是万一存在更好的分类y′，还可以使得P（x，y′）更大，那么就可以继续调节参数使得y′的P（x，y′）最大化。

这样反复迭代，直到没有更好的得y′存在。

y′：聚类界不允许有这么牛逼的y存在

3 EM算法

训练样本，就是上文中的点群x1,x2.....xm，假设各点之间是相互独立的，那么假设每个样本都一个隐含的类别ym。x点都是n维的向量，必须的。

在假设条件下求最大似然估计：

L(θ)=∑m1log∑yp(x,y;θ)

此时，想求解参数还有一个未知量y的存在，就算求了导数也是枉费。

于是EM假设每个样本类别都存在一个分布Qi。

在做一个简单等价：

L(θ)=∑m1log∑yp(xi,yi;θ)=∑m1log∑yQi(yi)p(xi,yi;θ)Qi(yi)≥∑i∑ziQi(yi)logp(xi,yi;θ)Qi(yi)

这个大于等于是根据一个叫做Jensen不等式得到的。

Jensen不等式就是严格凸函数的函数期望小于等于x期望做参数时的函数值。

等于符号成立的条件是参数x是常量。

现在问题变成求L(θ)的下界了。

那么等式成立的条件就是：

p(xi,yi;θ)Qi(yi)=C

又类别的分布满足：

∑iQi(yi)=1

于是综合可得：

∑ip(xi,yi;θ)=C

Qi(yi)=p(xi,yi;θ)∑ip(xi,yi;θ)=p(yi|xi;θ)

这样最小值也就E阶段完成了，要开始M阶段了。

M阶段做的就是1和2中说的迭代找到使P最大的θ.

4 聚类算法的Spark源码分析

  def run(data: RDD[Vector]): KMeansModel = {    run(data, None)  }  private[spark] def run(      data: RDD[Vector],      instr: Option[Instrumentation[NewKMeans]]): KMeansModel = {#//cache的作用    if (data.getStorageLevel == StorageLevel.NONE) {      logWarning("The input data is not directly cached, which may hurt performance if its"        + " parent RDDs are also uncached.")    }   "// 计算 每一行的L2范数    val norms = data.map(Vectors.norm(_, 2.0))       #while (i < size) {       # sum += values(i) * values(i)       # i += 1       #}    norms.persist()//cache    val zippedData = data.zip(norms).map { case (v, norm) =>      new VectorWithNorm(v, norm)    }    val model = runAlgorithm(zippedData, instr)    norms.unpersist()    // Warn at the end of the run as well, for increased visibility.    if (data.getStorageLevel == StorageLevel.NONE) {      logWarning("The input data was not directly cached, which may hurt performance if its"        + " parent RDDs are also uncached.")    }    model  }  /**   * Implementation of K-Means algorithm.   */  private def runAlgorithm(      data: RDD[VectorWithNorm],      instr: Option[Instrumentation[NewKMeans]]): KMeansModel = {    val sc = data.sparkContext    val initStartTime = System.nanoTime()    val centers = initialModel match {      case Some(kMeansCenters) =>//自己提供种子点        kMeansCenters.clusterCenters.map(new VectorWithNorm(_))      case None =>        if (initializationMode == KMeans.RANDOM) {          initRandom(data)//随机初始化        } else {          initKMeansParallel(data)//初始化方式k-means||        }    }    val initTimeInSeconds = (System.nanoTime() - initStartTime) / 1e9    logInfo(f"Initialization with $initializationMode took $initTimeInSeconds%.3f seconds.")    var converged = false//是否收敛    var cost = 0.0    var iteration = 0    val iterationStartTime = System.nanoTime()    instr.foreach(_.logNumFeatures(centers.head.vector.size))    // 计算每个样本离得最近的种子点，种子点累加样本的值和count，然后更新种子点    while (iteration < maxIterations && !converged) {      val costAccum = sc.doubleAccumulator      val bcCenters = sc.broadcast(centers)//centers通过sparkContext的broadcast函数进行广播,//最后在rdd的每一个partition的迭代时,使用这个广播变量.      // Find the sum and count of points mapping to each center      val totalContribs = data.mapPartitions { points =>        val thisCenters = bcCenters.value        val dims = thisCenters.head.vector.size        val sums = Array.fill(thisCenters.length)(Vectors.zeros(dims))//初始化为(thisCenters.length，dims)的全0矩阵        val counts = Array.fill(thisCenters.length)(0L)        points.foreach { point =>          val (bestCenter, cost) = KMeans.findClosest(thisCenters, point)//对于每个点都找出离得最近的种子点          costAccum.add(cost)          val sum = sums(bestCenter)          axpy(1.0, point.vector, sum)//将每个聚落求和          counts(bestCenter) += 1        }        counts.indices.filter(counts(_) > 0).map(j => (j, (sums(j), counts(j)))).iterator      }.reduceByKey { case ((sum1, count1), (sum2, count2)) =>        axpy(1.0, sum2, sum1)        (sum1, count1 + count2)      }.collectAsMap()      bcCenters.destroy(blocking = false)      // 继续迭代，更新新的种子点      converged = true      totalContribs.foreach { case (j, (sum, count)) =>        scal(1.0 / count, sum)//更新中心点，得到聚落新的质心        val newCenter = new VectorWithNorm(sum)        if (converged && KMeans.fastSquaredDistance(newCenter, centers(j)) > epsilon * epsilon) {//判断newCenter与centers之间的距离是否 > epsilon * epsilon          converged = false//大于设定值，那就是不收敛        }        centers(j) = newCenter//质心位置基本不变了      }      cost = costAccum.value      iteration += 1    }    val iterationTimeInSeconds = (System.nanoTime() - iterationStartTime) / 1e9    logInfo(f"Iterations took $iterationTimeInSeconds%.3f seconds.")    if (iteration == maxIterations) {      logInfo(s"KMeans reached the max number of iterations: $maxIterations.")    } else {      logInfo(s"KMeans converged in $iteration iterations.")    }    logInfo(s"The cost is $cost.")    new KMeansModel(centers.map(_.vector))  }

4.1 参数配置

private[clustering] trait KMeansParams extends Params with HasMaxIter with HasFeaturesCol  with HasSeed with HasPredictionCol with HasTol {//K-means中的K  @Since("1.5.0")  final val k = new IntParam(this, "k", "The number of clusters to create. " +    "Must be > 1.", ParamValidators.gt(1))  /** @group getParam */  @Since("1.5.0")  def getK: Int = $(k)  /**  初始化聚落中心的方法：随机或者K-means||   */  @Since("1.5.0")  final val initMode = new Param[String](this, "initMode", "The initialization algorithm. " +    "Supported options: 'random' and 'k-means||'.",    (value: String) => MLlibKMeans.validateInitMode(value))  /** @group expertGetParam */  @Since("1.5.0")  def getInitMode: String = $(initMode)  /**   针对K-means||的初始化方法的step   */  @Since("1.5.0")  final val initSteps = new IntParam(this, "initSteps", "The number of steps for k-means|| " +    "initialization mode. Must be > 0.", ParamValidators.gt(0))  /** @group expertGetParam */  @Since("1.5.0")  def getInitSteps: Int = $(initSteps)  /**   * Validates and transforms the input schema.   * @param schema input schema   * @return output schema   */  protected def validateAndTransformSchema(schema: StructType): StructType = {    SchemaUtils.checkColumnType(schema, $(featuresCol), new VectorUDT)    SchemaUtils.appendColumn(schema, $(predictionCol), IntegerType)  }}

4.2 findClosest
返回被给点离的最近的那个种子点的index

这里首先有一个判断：

真正的欧拉距离公式：

(a1−a2)2+(b1−b2)2=a21+a22+b21+b22−2(a1a2+b1b2)，先不开方；
不等式缩放一下：
a21+a22+b21+b22−2(a1a2+b1b2)≥a21+a22+b21+b22−2(a21+b21)(a22+b22)−−−−−−−−−−−−−−√=(a21+b21−−−−−−√−a22+b22−−−−−−√)2

如果(a21+b21−−−−−−√−a22+b22−−−−−−√)2都比最小距离大，那就不用再计算欧拉了。

private[mllib] def findClosest(      centers: TraversableOnce[VectorWithNorm],      point: VectorWithNorm): (Int, Double) = {    var bestDistance = Double.PositiveInfinity    var bestIndex = 0    var i = 0    centers.foreach { center =>      // Since `\|a - b\| \geq |\|a\| - \|b\||`, we can use this lower bound to avoid unnecessary      // distance computation.      var lowerBoundOfSqDist = center.norm - point.norm      lowerBoundOfSqDist = lowerBoundOfSqDist * lowerBoundOfSqDist      if (lowerBoundOfSqDist < bestDistance) {        val distance: Double = fastSquaredDistance(center, point)        if (distance < bestDistance) {          bestDistance = distance          bestIndex = i        }      }      i += 1    }    (bestIndex, bestDistance)  }

其中比较关键的是：

  private[mllib] def fastSquaredDistance(      v1: Vector,      norm1: Double,      v2: Vector,      norm2: Double,      precision: Double = 1e-6): Double = {    val n = v1.size    require(v2.size == n)    require(norm1 >= 0.0 && norm2 >= 0.0)    val sumSquaredNorm = norm1 * norm1 + norm2 * norm2//a_1^2+a_2^2+b_1^2+b_2^2    val normDiff = norm1 - norm2    var sqDist = 0.0    val precisionBound1 = 2.0 * EPSILON * sumSquaredNorm / (normDiff * normDiff + EPSILON)"//精度计算    if (precisionBound1 < precision) {      sqDist = sumSquaredNorm - 2.0 * dot(v1, v2)//a_1^2+a_2^2+b_1^2+b_2^2-2(a_1a_2+b_1b_2)    } else if (v1.isInstanceOf[SparseVector] || v2.isInstanceOf[SparseVector]) {      val dotValue = dot(v1, v2)      sqDist = math.max(sumSquaredNorm - 2.0 * dotValue, 0.0)      val precisionBound2 = EPSILON * (sumSquaredNorm + 2.0 * math.abs(dotValue)) /        (sqDist + EPSILON)      if (precisionBound2 > precision) {        sqDist = Vectors.sqdist(v1, v2)//(a_1-a_2)^2+(b_1-b_2)^2      }    } else {      sqDist = Vectors.sqdist(v1, v2)    }    sqDist  }