机器学习之聚类算法/Bisecting K-Means算法

前面文章机器学习之聚类算法——K-Means算法分享了K-Means算法，文章最后总结了其缺点及解决方法。如下：

1）首先，K-Means算法只能找到局部最优的聚类，而不是全局最优的聚类。而且算法的结果非常依赖于初始随机选择的聚类中心的位置。我们通过多次运行算法，使用不同的随机生成的聚类中心点运行算法，然后对各自结果C通过evaluate(C)函数进行评估，选择多次结果中evaluate(C)值最小的那一个。

2）关于初始k值选择的问题。首先的想法是，从一个起始值开始，到一个最大值，每一个值运行k-means算法聚类，通过一个评价函数计算出最好的一次聚类结果，这个k就是最优的k。然而，k越大，聚类中心越多，显然每个观测点距离其中心的距离的平方和会越小，这在实践中也得到了验证。

3）关于性能问题。原始的算法，每一次迭代都要计算每一个观测点与所有聚类中心的距离。有没有方法能够提高效率呢？是有的，可以使用k-d tree或者ball tree这种数据结构来提高算法的效率。特定条件下，对于一定区域内的观测点，无需遍历每一个观测点，就可以把这个区域内所有的点放到距离最近的一个聚类中去。

经典的k均值聚类有很大的缺点就是很容易收敛到局部最优，而没有考虑全局的最小化，影响聚类性能，为了避免这种局部最优，有前辈提出了Bisecting k-Means算法（也叫二分K-均值算法）。

对于Bisecting k-Means算法，这里选择一种全局最小值的度量方法，SSE(sum of squared error)。SSE越小，所有的节点距离它们的中心点越近。

算法原理：开始时只有一个聚类，然后将其分割为两个聚类，分割之后根据SSE最小化原则从所有聚类中选择一个聚类继续进行分割，直到聚类个数达到K。

选择哪一个簇进行划分取决于是否可以最大程度降低SSE的值。上述基于SSE的划分过程不断重复，直到得到用户指定的簇数目为止。

以上隐含着一个原则是：

因为聚类的误差平方和能够衡量聚类性能，该值越小表示数据点月接近于它们的质心，聚类效果就越好。所以我们就需要对误差平方和最大的簇进行再一次的划分，因为误差平方和越大，表示该簇聚类越不好，越有可能是多个簇被当成一个簇了，所以我们首先需要对这个簇进行划分。

关于二分K-means的优点《Machine Learning in Action》说的是能够克服K-means收敛于局部最小，但是想了一下感觉这个并不能保证收敛到全局最优值（而且后面运行代码结果也会出现不太好的情况，不知道这算不算是个证据）

通过查阅一些资料和总结，二分K-means聚类的优点有：

• 二分K均值算法可以加速K-means算法的执行速度，因为它的相似度计算少了。

• 不受初始化问题的影响，因为这里不存在随机点的选取，且每一步都保证了误差最小。

所以说这个算法也并不能够保证完全不受K的影响一定归到全局最小，只是相对较优，并且还有了一定的速度提升。理解有偏差欢迎指正。

伪代码如下：

Start with all the points in one clusterWhile the number of clusters is less than k     for every clustermeasure total errorperform k-means clustering with k=2 on the given clustermeasure total error after k-means has split the cluster in two    choose the cluster split that gives the lowest error and commit this split

里面主要用到了函数

biKmeans(dataSet, k, distMeas=distEclud)

实现了二分算法，大致的思路是：

1.初始化全部点的质心，并建立所需要的数据存储结构
2.对每一个簇尝试二分（最开始就是一个簇），选出最好的
3.更新各个簇的元素个数

biKmeans的代码实现如下：（《机器学习实战》中提供了该代码）

def biKmeans(dataSet, k, distMeas=distEclud):

    m = shape(dataSet)[0]

    clusterAssment = mat(zeros((m,2)))#记录簇分配的结果及误差

    centroid0 = mean(dataSet, axis=0).tolist()[0]#计算整个数据集的质心

    centList =[centroid0] #create a list with one centroid

    for j in range(m):#计算初始聚类点与其他点的距离

        clusterAssment[j,1] = distMeas(mat(centroid0), dataSet[j,:])**2

    while (len(centList) < k):

        lowestSSE = inf

        for i in range(len(centList)):#尝试划分每一簇

            ptsInCurrCluster = dataSet[nonzero(clusterAssment[:,0].A==i)[0],:]#get the data points currently in cluster i

            centroidMat, splitClustAss = kMeans(ptsInCurrCluster, 2, distMeas)#对这个簇运行一个KMeans算法，k=2

            sseSplit = sum(splitClustAss[:,1])#compare the SSE to the currrent minimum

            sseNotSplit = sum(clusterAssment[nonzero(clusterAssment[:,0].A!=i)[0],1])

            print "sseSplit, and notSplit: ",sseSplit,sseNotSplit

            if (sseSplit + sseNotSplit) < lowestSSE:##划分后更好的话

                bestCentToSplit = i

                bestNewCents = centroidMat

                bestClustAss = splitClustAss.copy()

                lowestSSE = sseSplit + sseNotSplit

        bestClustAss[nonzero(bestClustAss[:,0].A == 1)[0],0] = len(centList) #更新簇的分配结果change 1 to 3,4, or whatever

        bestClustAss[nonzero(bestClustAss[:,0].A == 0)[0],0] = bestCentToSplit

        print 'the bestCentToSplit is: ',bestCentToSplit

        print 'the len of bestClustAss is: ', len(bestClustAss)

        centList[bestCentToSplit] = bestNewCents[0,:].tolist()[0]#replace a centroid with two best centroids 

        centList.append(bestNewCents[1,:].tolist()[0])

        clusterAssment[nonzero(clusterAssment[:,0].A == bestCentToSplit)[0],:]= bestClustAss#reassign new clusters, and SSE

    return mat(centList), clusterAssment

用了一些数据，测试效果如下：

测试效果还不错。

所以，对于书中的知识也需要辩证的去看，老话说的好，尽信书不如无书啊。

对于大数据集，本文没有将K-Means与Bisecting k-Means算法作过对比，关于大数据集的效果无法下结论。

参考资料

Peter HARRINGTON.机器学习实战[M].李锐,李鹏,曲亚东,王斌译.北京:人民邮电出版社, 2013.

当你的才华撑不起你的野心时，只有静下心来好好学习~

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