约瑟夫环问题

约瑟夫环问题：一圈共有N个人，开始报数，报到M的人自杀，然后重新开始报数，问最后自杀的人是谁？

如图：内环表示人排列的环，外环表示自杀顺序；上面N=41,M=3。 （图转自KangRoger的博客）

问题链接：CDOJ 525

最容易想到的思路是模拟，时间复杂度为（n*m）；

#include <iostream>#include <string.h>#include <stdio.h>using namespace std;const int ma=105;bool vis[ma];int solve(int n,int m){    int i=1,j=0,cnt=0;;    while(i<=n)    {        if(!vis[i])        {            j++;            if(j==m)            {                vis[i]=true;                j=0;                cnt++;            }            if(cnt==n) return i;        }        if(i==n) i=0;        ++i;    }}int main(){    int n,m,t;    scanf("%d",&t);    while(t--)    {        scanf("%d%d",&n,&m);        memset(vis,false,sizeof(vis));        printf("%d\n",solve(n,m));    }    return 0;}

模拟整个过程，复杂度为O(NM)。可以用数学方法来求解：

把问题重新描述一下：N个人（编号0~(N-1))，从0开始报数，报到(M-1)的自杀，剩下的人继续从0开始报数。求最后自杀者的编号。

N个人编号如下：

第一个自杀的人是（M-1）%N，例如上图中，41个人中，报到3的人自杀，则字一个自杀的人的编号是（3-1）%41=2。编号（M-1)%N自杀后，剩下的人排列如下：

有人自杀后，下一个位置M又从零开始报数，因此环应该如下：

将上面的排列顺序重新编号：

问题变为（N-1）个人，报到为（M-1）的人自杀，问题规模减小了。这样一直进行下去，最后剩下编号为0的人。用函数表示：

F(1)=0

当有2个人的时候（N=2），报道（M-1）的人自杀，最后自杀的人是谁？应该是在只有一个人时，报数时得到的最后自杀的序号加上M，因为报到M-1的人已经自杀，只剩下2个人，另一个自杀者就是最后自杀者，用函数表示：

F(2)=F(1)+M

可以得到递推公式：

F(i)=F(i-1)+M

因为可能会超出总人数范围，所以要求模

F(i)=(F(i-1)+M)%i

有了递推公式就可以在O（N）时间求出结果：

#include <iostream>#include <string.h>#include <stdio.h>using namespace std;// 约瑟夫环问题 O(N)int main(){    int t,n,m;    scanf("%d",&t);    while(t--)    {        scanf("%d%d",&n,&m);        int ans=0;        for(int i=2; i<=n; ++i)            ans=(ans+m)%i;        printf("%d\n",ans+1);    }    return 0;}

下面放一波毒：

丢手绢

System Message(命题人)

基准时间限制：1 秒 空间限制：131072 KB 分值: 20

六一儿童节到了，小朋友们在玩丢手绢的游戏。总共有C个小朋友，编号从1到C，他们站成一个圈，第i(1<i<=C)个人的左边是i-1，第1个人的左边是C。第i(1<=i<C)个人的右边是i+1，第C个人的右边是1。然后再给出一个常数E。刚开始的时候1号小朋友拿着手绢，接下来游戏开始，在游戏的每一轮，拿手绢的人会把手绢向右边传递E－1个人，拿到手绢的人退出圈，把手绢递给他右边的小朋友，剩下的人向中间挨紧，把圈中的空位补满。然后开始下一轮，如此往复。直到圈中只剩一个人。比如C＝6，E＝5的时候，出圈的顺序是5，4，6，2，3，最后1号小朋友留在了圈中。

现在有2G个小朋友，要求一个最小的常数E，使得这2G个小朋友玩了G轮游戏之后，出圈的小朋友编号刚好是G+1到2G。

Input

多组测试数据。每一行给出一个整数G（ 0 < G < 14），G＝0的时候表示输入结束。

Output

输出多行，表示每一组数据的答案。

Input示例

340

Output示例

530

题目来源：TalkingData数据科学精英夏令营挑战赛

这个题是上一个题的升级版，G只有13个数，所以，选择兴奋的打表：

#include <iostream>#include <string.h>#include <stdio.h>using namespace std;const int ma=35;bool vis[ma],bj[ma];bool solve(int n,int m){    memset(vis,false,sizeof(vis));    int i=1,j=0,cnt=0;;    while(i<=n)    {        if(!vis[i])        {            j++;            if(j==m)            {                vis[i]=true;                j=0;                cnt++;            }            if(cnt==n/2) break;        }        if(i==n) i=0;        ++i;    }    for(int i=n/2+1;i<=n;++i) if(!vis[i]) return 0;    return 1;}int main(){    for(int i=1;i<14;++i)    {        for(int j=2;;++j)            if(solve(2*i,j))        {            printf("%d\n",j);            break;        }    }    return 0;}

简直怀疑人生，打了十分钟都没有出来！

不过最终的答案如下：

#include <stdio.h>#include <iostream>using namespace std;int main(){    int ans[]={0,2,7,5,30,169,441,1872,7632,1740,93313,459901,1358657,2504881};    int n;    while(scanf("%d",&n)&&n)    printf("%d\n",ans[n]);        return 0;}