关于“树状数组”

线段树有的时候是比较复杂且没有必要的，于是就会造成很大的时间复杂度和空间复杂度。于是，树状数组是线段树在某些情况下很大的优化。

首先先代入一张数状数组的图。

（注：此图乃是转载之）

图中将c数组标记出来。

C1=a1

C2=a1+a2

C3=a3

C4=a1+a2+a3+a4

C5=a5

C6=a5+a6

C7=a7

C8=a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8

到了c8停止我们可以看到8分为可以分为1-4,5-8两个部分，而这两个部分又可以分为1-2与3-4和5-6和7-8,在其他情况下也亦是这样。

那么很容易可以看出，树状数组是利用二分的思想来的。

那么接下来就是很巧妙的地方。

有一个东西two，那么two（k）表示的意思是将k的后缀到第一个1位置的数（二进制情况下），也就是说在k的二进制情况下，保留后面的0和最后一个1.

具体怎么做呢？

Two（k）=k&（-k）

举一个例子：

E.g：

当k为10是

（10）10=（1010）2

（-10）10=（0110）2 //显而易见，一个正数的二进制情况下的负数形式是正数的二进制取反加一。

那么

 1010

&0110

----------

 0010

也就是（10）2

对于一个树状数组c，c[k]表示从a[k]开始往左two（k）个数的和，这个在图中很容易可以看出来。

那么怎么对于一个树状数组进行更改呢？

这也用到了two这个东西，是的，特别巧妙。

再在图中找一个样例吧。

就比如我们当前要把a3更改为5。

那么我们就必须更改c3，c4和c8，这一点在图中也可以看出来。

那么（3）10=（0011）2

       （4）10=（0100）2

       （8）10=（1000）2

可以在二进制中发现，在二进制中，每一次都往高位改1

那么就可以借助two继续修改，也就是设当前这个位置在k，那么下一个位置就是在k+two（k）。将例子带进来看一下。

 （0011）2+（0011）2&（-0011）2

=（0011）2+（0011）2&（1101）2

=（0011）2+（0001）2

=（0100）2

=（4）10

下一个就不举例了，是不是很神奇?

那为什么会这么神奇呢？主要是因为树状数组的二分的分组性质吧，这么奇妙的东西我只能抽象化的理解，就比如一个c，他的父亲肯定包含他，他的爷爷肯定也包含他，以此类推。

那么再说说求和的问题。

前面说过，c[k]表示从a[k]开始往左two（k）个数的和。

比如求a2到a4的和

那么就可以将将1到4的和找出来，再将1到2-1的和找出来，相减，很显然是一个前缀和的做法，就不必多说了。

那么接下来就看一下树状数组是怎么实现的。

修改：

void xiugai(int v,int p){    while (p<=n)    {       c[p]=c[p]+v;       p=p+two(p);    }}

求和

int qiuhe(int z){    int sum1=0;    while (z!=0)    {       sum1=sum1+c[z];       z=z-two(z);    }    return sum1;}

关于two很简单

int two(int x){    return (x&(-x));}

这就是最基本的树状数组，应根据不同的题中不同情况来决定如何使用。

难点：

1，如何理解树状数组的思想（√）

2，two的具体作用（×）

最后，将树状数组的思想稍微抽象化一点，从二进制来考虑树状数组的奇妙应该不难了（即使我现在还是没有完全弄懂）

题目：

1，求和（√）

2，星星点灯（√）

3，指纹（×）