关于树状数组

一、树状数组是什么？

树状数组(Binary Indexed Tree(B.I.T), Fenwick Tree)是一个查询和修改复杂度都为log(n)的数据结构。主要用于查询任意两位之间的所有元素之和，但是每次只能修改一个元素的值；经过简单修改可以在log(n)的复杂度下进行范围修改，但是这时只能查询其中一个元素的值(如果加入多个辅助数组则可以实现区间修改与区间查询)。这种数据结构（算法）并没有C++和Java的库支持，需要自己手动实现。在Competitive Programming的竞赛中被广泛的使用。树状数组和线段树很像，但能用树状数组解决的问题，基本上都能用线段树解决，而线段树能解决的树状数组不一定能解决。相比较而言，树状数组效率要高很多。

二、树状数组怎么做的？

假设数组a[1..n]，那么查询a[1]+...+a[n]的时间是log级别的，而且是一个在线的数据结构，支持随时修改某个元素的值，复杂度也为log级别。

来观察这个图：

令这棵树的结点编号为C1，C2...Cn。令每个结点的值为这棵树的值的总和，那么容易发现：

C1 = A1

C2 = A1 + A2

C3 = A3

C4 = A1 + A2 + A3 + A4

C5 = A5

C6 = A5 + A6

C7 = A7

C8 = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8

...

C16 = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8 + A9 + A10 + A11 + A12 + A13 + A14 + A15 + A16

这里有一个有趣的性质：

设节点编号为x，那么这个节点管辖的区间为2^k（其中k为x二进制末尾0的个数）个元素。因为这个区间最后一个元素必然为Ax，

所以很明显：Cn = A(n – 2^k + 1) + ... + An

       对于数组求和来说树状数组简直太快了!

很容易知道C8表示A1～A8的和，但是C6却是表示A5～A6的和，为什么会产生这样的区别的呢？或者说发明她的人为什么这样区别对待呢？

答案是，这样会使操作更简单！看到这相信有些人就有些感觉了，为什么复杂度被log了呢？可以看到，C8可以看作A1～A8的左半边和+右半边和，而其中左半边和是确定的C4，右半边其实也是同样的规则把A5～A8一分为二……继续下去都是一分为二直到不能分树状数组巧妙地利用了二分，树状数组并不神秘，关键是巧妙！

 怎样做到不断一分为二？先说个lowbit，lowbit(k)就是把k的二进制的高位1全部清空，只留下最低位的1,比如10的二进制是1010,则lowbit(k)=lowbit(1010)=0010(2进制)。方法lowbit(k)=k&-k，这是位运算，我们知道一个数加一个负号是把这个数的二进制取反+1，如-10的二进制就是-1010=0101+1=0110，然后用1010&0110，答案就是0010。关于lowbit的用处，它是为了联系a数组和c数组的。ck表示从ak开始往左连续求lowbit(k)个数的和，c[0110]=a[0110]+a[0101]，就是从110开始计算了0010个数的和，因为lowbit(0110)=0010，可以看到其实只有低位的1起作用，显然c[0010]=a[0010]+a[0001]，这就为什么我们任何数都只关心它的lowbit，因为高位不起作用。

如何实现a某一个位置数据更改？比如更改了a[0011]，我们接着要修改c[0011],c[0100],c[1000]，其实从0011——>0100——>1000的变化都是进行“去尾”操作，又是自己造的词--''，我来解释下，就是把尾部应该去掉的1都去掉转而换到更高位的1,记住每次变换都要有一个高位的1产生，所以0100是不能变换到0101的，因为没有新的高位1产生，这个变换过程恰好是可以借助我们的lowbit进行的，k +=lowbit(k)。

       为什么它是这种关系？这就要追究到之前我们说c8可以看作a1～a8的左半边和+右半边和……的内容了，为什么c[0011]会影响到c[0100]而不会影响到c[0101]，这就是之前说的c[0100]的求解实际上是这样分段的区间 c[0001]~c[0001] 和区间c[0011]~c[0011]的和，数字太小，可能这样不太理解，在比如c[0100]会影响c[1000]，为什么呢？因为c[1000]可以看作0001～0100的和加上0101~1000的和，但是0101位置的数变化并会直接作用于c[1000]，因为它的尾部1不能一下在跳两级在产生两次高位1,是通过c[0110]间接影响的，但是，c[0100]却可以跳一级产生一次高位1。

        只需注意：c的构成性质（其实是分组性质）决定了c[0011]只会直接影响c[0100]，而c[0100]只会直接影响[1000]，而下表之间的关系恰好是也必须是k +=lowbit(k)。

三、与线段树的对比

树状数组是一个可以很高效的进行区间统计的数据结构。在思想上类似于线段树，比线段树节省空间，编程复杂度比线段树低，但适用范围比线段树小。

优势：空间复杂度略低，编程复杂度低，容易扩展到多维情况。

劣势：适用范围小，对可以进行的运算也有限制，比如每次要查询的是一个区间的最小值，似乎就没有很好的解决办法。

引用：http://blog.csdn.net/int64ago/article/details/7429868