《算法概论》8.9

题目：

8.9 In the HITTING SET problem, we are given a family of sets {S1,S2,...,Sn}, and a budget b, and we wish to find a set H of size ≤b which intersects every Si, if such an H exists, In other words, we want H⋂Si≠∅ for all i.
Show that HITTING SET is NP-complete.

解答：

击中集（Hitting Set）问题是指给定一组集合 {S1,S2,...,Sn}和一个预算b，希望找到一个集合H满足H与所有的Si相交（存在公共元素）且H的大小不超过预算b，如果存在这样的集合H，用数学公式表示就是 H⋂Si≠∅。
顶点覆盖（Vertex Cover）问题是指给定图G(V, E)和预算k，希望从V中找到一个大小不超过k的顶点集合A，能够覆盖所有的边（每一条边至少有一个顶点属于A）。
顶点覆盖问题是NP完全的，现在将顶点覆盖问题规约到击中集问题。
对于G的每一条边e=(u,v)，令Si={u,v}，则得到一组集合{S1,S2,...,S|E|}，每一个集合Si对应G的一条边，集合的元素为对应边的两个顶点。让预算b=k，因为顶点覆盖问题中要求所有的边都被覆盖到，即每一条边至少有一个顶点属于覆盖集A中，这意味着覆盖集A与所有的Si都相交，而击中集问题中H⋂Si≠∅，即A与H是等价的；覆盖集A最多k个点对应击中集H最多有b个元素，因此实现了顶点覆盖问题到击中集问题的归约，所以击中集问题是NP完全问题，证毕。