《算法概论》习题8.9 碰撞集

题目：
　　在碰撞集（HITTING SET）问题中，给定一组集合{S1,S2,...,Sn}和预算b，我们希望求一个与所有的Si相交且规模不超过b的集合H，当然，前提是这样的集合确实存在。换句话说，我们希望对所有的i满足H∩Si≠∅。
　　请证明该问题是NP-完全的。

证明：
　　可将顶点覆盖问题归约到碰撞集问题，顶点覆盖问题的目标是找到一个大小不超过b的点集合H，使得图中所有的边都至少与集合中的一个点关联，它是一个NP-完全问题。
　　设无向图G=(V,E)，对于图中每一条边(vm,vn)，设集合Si={vm,vn}，最终得到|E|个集合。
　　这样即可将顶点覆盖问题归约到碰撞集问题：
　　① 若存在满足要求的集合H，它与所有的Si都相交且规模不超过b，那么H也是满足顶点覆盖问题的点集合。
　　② 若不存在集合H与所有的Si相交且规模不超过b，那么图G中也不存在规模不超过b的顶点覆盖H。
　　综上所述，存在集合H与所有的Si相交且规模不超过b，当且仅当图G中存在规模不超过b的顶点覆盖。因此碰撞集问题是NP-完全问题。