线段树 延迟标记

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区间更新

区间更新是指更新某个区间内的叶子节点的值，因为涉及到的叶子节点不止一个，而叶子节点会影响其相应的非叶父节点，那么回溯需要更新的非叶子节点也会有很多，如果一次性更新完，操作的时间复杂度肯定不是O(lgn)，例如当我们要更新区间[0,3]内的叶子节点时，需要更新出了叶子节点3,9外的所有其他节点。为此引入了线段树中的延迟标记概念，这也是线段树的精华所在。

延迟标记：每个节点新增加一个标记，记录这个节点是否进行了某种修改(这种修改操作会影响其子节点)，对于任意区间的修改，我们先按照区间查询的方式将其划分成线段树中的节点，然后修改这些节点的信息，并给这些节点标记上代表这种修改操作的标记。在修改和查询的时候，如果我们到了一个节点p，并且决定考虑其子节点，那么我们就要看节点p是否被标记，如果有，就要按照标记修改其子节点的信息，并且给子节点都标上相同的标记，同时消掉节点p的标记。

因此需要在线段树结构中加入延迟标记域，本文例子中我们加入标记与addMark，表示节点的子孙节点在原来的值的基础上加上addMark的值，同时还需要修改创建函数build 和 查询函数 query，修改的代码用红色字体表示，其中区间更新的函数为update，代码如下：

  1 const int INFINITE = INT_MAX;  2 const int MAXNUM = 1000;  3 struct SegTreeNode  4 {  5     int val;  6     int addMark;//延迟标记  7 }segTree[MAXNUM];//定义线段树  8   9  16 void build(int root, int arr[], int istart, int iend) 17 { 18     segTree[root].addMark = 0;//----设置标延迟记域 19     if(istart == iend)//叶子节点 20         segTree[root].val = arr[istart]; 21     else 22     { 23         int mid = (istart + iend) / 2; 24         build(root*2+1, arr, istart, mid);//递归构造左子树 25         build(root*2+2, arr, mid+1, iend);//递归构造右子树 26         //根据左右子树根节点的值，更新当前根节点的值 27         segTree[root].val = min(segTree[root*2+1].val, segTree[root*2+2].val); 28     } 29 } 30  31  35 void pushDown(int root) 36 { 37     if(segTree[root].addMark != 0) 38     { 39         //设置左右孩子节点的标志域，因为孩子节点可能被多次延迟标记又没有向下传递 40         //所以是 “+=” 41         segTree[root*2+1].addMark += segTree[root].addMark; 42         segTree[root*2+2].addMark += segTree[root].addMark; 43         //根据标志域设置孩子节点的值。因为我们是求区间最小值，因此当区间内每个元 44         //素加上一个值时，区间的最小值也加上这个值 45         segTree[root*2+1].val += segTree[root].addMark; 46         segTree[root*2+2].val += segTree[root].addMark; 47         //传递后，当前节点标记域清空 48         segTree[root].addMark = 0; 49     } 50 } 51  52  58 int query(int root, int nstart, int nend, int qstart, int qend) 59 { 60     //查询区间和当前节点区间没有交集 61     if(qstart > nend || qend <<span style="font-family: 'Courier New' !important;"> nstart) 62         return INFINITE; 63     //当前节点区间包含在查询区间内 64     if(qstart <= nstart && qend >= nend) 65         return segTree[root].val; 66     //分别从左右子树查询，返回两者查询结果的较小值 67     pushDown(root); //----延迟标志域向下传递 68     int mid = (nstart + nend) / 2; 69     return min(query(root*2+1, nstart, mid, qstart, qend), 70                query(root*2+2, mid + 1, nend, qstart, qend)); 71  72 } 73  74  81 void update(int root, int nstart, int nend, int ustart, int uend, int addVal) 82 { 83     //更新区间和当前节点区间没有交集 84     if(ustart > nend || uend <<span style="font-family: 'Courier New' !important;"> nstart) 85         return ; 86     //当前节点区间包含在更新区间内 87     if(ustart <= nstart && uend >= nend) 88     { 89         segTree[root].addMark += addVal; 90         segTree[root].val += addVal; 91         return ; 92     } 93     pushDown(root); //延迟标记向下传递 94     //更新左右孩子节点 95     int mid = (nstart + nend) / 2; 96     update(root*2+1, nstart, mid, ustart, uend, addVal); 97     update(root*2+2, mid+1, nend, ustart, uend, addVal); 98     //根据左右子树的值回溯更新当前节点的值 99     segTree[root].val = min(segTree[root*2+1].val, segTree[root*2+2].val);100 }

区间更新举例说明：当我们要对区间[0,2]的叶子节点增加2，利用区间查询的方法从根节点开始找到了非叶子节点[0-2]，把它的值设置为1+2 = 3，并且把它的延迟标记设置为2，更新完毕；当我们要查询区间[0,1]内的最小值时，查找到区间[0,2]时，发现它的标记不为0，并且还要向下搜索，因此要把标记向下传递，把节点[0-1]的值设置为2+2 = 4，标记设置为2，节点[2-2]的值设置为1+2 = 3，标记设置为2（其实叶子节点的标志是不起作用的，这里是为了操作的一致性），然后返回查询结果：[0-1]节点的值4；当我们再次更新区间[0,1]（增加3）时，查询到节点[0-1],发现它的标记值为2，因此把它的标记值设置为2+3 = 5，节点的值设置为4+3 = 7；

其实当区间更新的区间左右值相等时（[i,i]），就相当于单节点更新，单节点更新只是区间更新的特例。