浅析__线段树延迟标记

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区间更新是指更新某个区间内的叶子节点的值，因为涉及到的叶子节点不止一个，而叶子节点会影响其相应的非叶父节点，那么回溯需要更新的非叶子节点也会有很多，如果一次性更新完，操作的时间复杂度肯定不是O(lgn)，例如当我们要更新区间[0,3]内的叶子节点时，需要更新除了叶子节点3,9外的所有其他节点。为此引入了线段树中的延迟标记概念，这也是线段树的精华所在。

延迟标记：每个节点新增加一个标记，记录这个节点是否进行了某种修改(这种修改操作会影响其子节点)，对于任意区间的修改，我们先按照区间查询的方式将其划分成线段树中的节点，然后修改这些节点的信息，并给这些节点标记上代表这种修改操作的标记。在修改和查询的时候，如果我们到了一个节点p，并且决定考虑其子节点，那么我们就要看节点p是否被标记，如果有，就要按照标记修改其子节点的信息，并且给子节点都标上相同的标记，同时消掉节点p的标记。

因此需要在线段树结构中加入延迟标记域，本文例子中我们加入标记与add，表示节点的子孙节点在原来的值的基础上加上add的值，同时还需要修改创建函数build()和 查询函数 query()，其中区间更新的函数为update();

代码如下:

void PushUp(int rt) //把当前结点的信息更新到父结点{sum[rt] = sum[rt<<1] + sum[rt<<1|1];}void PushDown(int rt,int len)//把当前结点的信息更新给儿子结点,len为分区间长度 {//对某一个区间进行改变，如果被标记了，在查询的时候就得把改变传给子节点，因为查询的并不一定是当前区间  if (add[rt])//已经标记过，该区间被改变过 {//因为rt的儿子节点可能被多次延迟标记，并且rt的儿子节点的延迟标记没有向rt的孙子节点移动，所以用“+=” add[rt<<1] += add[rt];add[rt<<1|1] += add[rt];/*此处用add[rt]乘以区间长度，不是add[rt<<1], 因为rt的儿子节点如果被多次标记，之前被标记时， 就已经对sum[rt<<1]更新过了。 */sum[rt<<1] += add[rt] * (len - (len >> 1));//更新左儿子的和sum[rt<<1|1] += add[rt] * (len >> 1);//更新右儿子的和add[rt] = 0;//将标记向儿子节点移动后，父节点的延迟标记去掉 ，传递后，当前节点标记域清空}}void build(int l,int r,int rt) {add[rt] = 0;//初始化为所有结点未被标记if (l == r){scanf("%lld",&sum[rt]);return ;}int mid = (l + r) >> 1;build(lson);build(rson);PushUp(rt);}void update(int L,int R,int c,int l,int r,int rt){if (L <= l && r <= R){add[rt] += c;sum[rt] += (LL)c * (r - l + 1);//更新代表某个区间的节点和，该节点不一定是叶子节点return ;}/*当要对被延迟标记过的这段区间的儿子节点进行更新时，先要将延迟标记向儿子节点移动 当然，如果一直没有对该段的儿子节点更新，延迟标记就不需要向儿子节点移动，这样就使更新操作的时间复杂度仍为O（logn），也是使用延迟标记的原因。 */  PushDown(rt , r - l + 1);//----延迟标志域向下传递int mid = (l + r) >> 1;if (L <= mid)update(L , R , c , lson);//更新左儿子if (mid < R) update(L , R , c , rson);//更新右儿子PushUp(rt);//向上传递更新和}LL query(int L,int R,int l,int r,int rt) {if (L <= l && r <= R){return sum[rt];}//要取rt子节点的值时，也要先把rt的延迟标记向下移动PushDown(rt , r - l + 1);int mid = (l + r) >> 1;LL ret = 0;if (L <= mid) ret += query(L , R , lson);if (mid < R)ret += query(L , R , rson);return ret;}

区间更新举例说明：当我们要对区间[0,2]的叶子节点增加2，利用区间查询的方法从根节点开始找到了非叶子节点[0-2]，把它的值设置为1+2 = 3，并且把它的延迟标记设置为2，更新完毕；当我们要查询区间[0,1]内的最小值时，查找到区间[0,2]时，发现它的标记不为0，并且还要向下搜索，因此要把标记向下传递，把节点[0-1]的值设置为2+2 = 4，标记设置为2，节点[2-2]的值设置为1+2 = 3，标记设置为2（其实叶子节点的标志是不起作用的，这里是为了操作的一致性），然后返回查询结果：[0-1]节点的值4；当我们再次更新区间[0,1]（增加3）时，查询到节点[0-1],发现它的标记值为2，因此把它的标记值设置为2+3 = 5，节点的值设置为4+3 = 7；

其实当区间更新的区间左右值相等时（[i,i]），就相当于单节点更新，单节点更新只是区间更新的特例。