Unity Shader中的坐标系转换

Unity Shader中的坐标系转换

最近在看《Unity Shader入门精要》，其中有颇多地方涉及到线性代数的知识点，无奈太久不用脑子里对这些东西的印象全无。

坐标系转换在Shader中十分常见，比如局部坐标(Local Coordinate)、世界坐标(World Coordinate)、切线坐标(Tangent Coordinate)这三者之间经常相互转换，因此需要用到转换矩阵，这里对转换矩阵的构建就有讲究了，学过线性代数的人都知道对矩阵求逆需要相当大的计算量，在Shader中应当尽量避免这种计算，因此各个坐标系间相互转换的矩阵，通常使用已知的一些值推导出。

例如：
坐标系A向量α⃗ 转换到坐标系B(注意：这里的转换是针对向量而非位置)
坐标系A中的向量
α⃗ a={xa, ya, za}，α⃗ b=Ma→bα⃗ a
一般而言两个坐标系间的关系通常由坐标轴来决定，假定坐标系A的三个坐标轴在坐标系B中表示为：
Xb, Yb, Zb
那么，试想象将坐标轴A的原点与坐标轴B的原点重合, 那么
α⃗ b=xa⋅Xb+ya⋅Yb+za⋅Zb
即将坐标轴A中的向量换算成坐标系B中的表示形式，上式可以改写成矩阵运算：
α⃗ b=⎡⎣⎢Xb.xXb.yXb.zYb.xYb.yYb.zZb.xZb.yZb.z⎤⎦⎥⋅⎡⎣⎢xayaza⎤⎦⎥=[XbYbZb]⋅α⃗ a
由此可见Ma→b=[XbYbZb]
进一步的我们如何得到Mb→a呢？
众所周知，正交矩阵的逆矩阵等于其转置矩阵，在不同坐标系间进行向量转换时并不涉及平移和缩放的操作，因此其转换矩阵必然是正交的所以我们可以得到
Mb→a=⎡⎣⎢XbYbZb⎤⎦⎥
根据上述推导的过程，其实我们还可以得出坐标系B的三轴在坐标系A中的表示方式。
所以若要求一向量从一个坐标系到另一个坐标系的转换矩阵，那么只要得到其中一个坐标系的三轴在另一个坐标系中的表示方式就可以了。
在Shader编写中经常用到这样的矩阵组成方法，所以在Shader中看到不懂的矩阵组成别懵逼啦，只是用到了线性代数中的一点性质罢了。