最小生成树——Prim

prim算法是求最小生成树的算法，与求最短路径的dijstra算法类似。是以点为基础进行扩展的。算法的执行过程为：划分两个集合，一个是已放置好的点，另一个数未放置好的点。从任意一个点开始，将这个点放入第一个集合，然后找到与第二个集合中与第一个集合中点距离最近的点，加入第一个集合，重复此操作，一直到所有点都加入为止。

时间复杂度：未优化之前的复杂度是O(v^2)，使用优先级队列优化后可以达到O(ElogE)。

未优化前：无论是使用邻接表还是邻接矩阵，时间复杂度都是O(v^2)，因为需要加入v条边即外层循环V次O(v)，内层需要遍历所有点O(v)来找下一个出发点以更新dis数组，总的复杂度为O(v^2)。

代码（邻接矩阵）：

#include <stdio.h>#include <string.h>#define INF 0xfffffff#define N 550int V, E;bool vis[N];int dis[N], map[N][N];// dis数组保存与i点相连的最短边，map为邻接矩阵 void Init(){// 初始化 for(int i = 1; i <= V; i ++){for(int j = 1; j <= V; j ++){map[i][j] = INF;}vis[i] = 0;}}int Prime(int choose){// choose 为最小生成树的出发点，其实在这儿不重要，可默认为1 for(int i = 1; i <= V; i ++){// 更新dis数组 dis[i] = map[choose][i];}vis[choose] = 1;// 标记出发点 dis[choose] = 0;int ans = 0;for(int j = 1; j < V; j ++){int min = INF;for(int i = 1; i <= V; i ++){// 选取边权最小的点作为下一个出发点 if(!vis[i] && min > dis[i]){min = dis[i];choose = i;}}ans += min;vis[choose] = 1;for(int i = 1; i <= V; i ++){// 以最新的出发点的边更新dis数组 if(!vis[i] && dis[i] > map[choose][i]){dis[i] = map[choose][i];}}}return ans;}int main(){int loop;int start, end, len;scanf("%d", &loop);while(loop --){scanf("%d%d", &V, &E);Init();for(int i = 0; i < E; i ++){// 建图 scanf("%d%d%d", &start, &end, &len);map[start][end] = map[end][start] = len;}int ans = Prime(1);printf("%d\n", ans);}return 0;}

优化之后：首先需要使用邻接表来存才能降低复杂度。先把与第一个点相邻的点加入队列，然后重复执行一下操作：从队列中拿出距离最小且未加入的点，把这个点加入集合，然后再将与此点相邻的点都加入队列，直到所有点都加入。因为有E条边，这个过程一共加入了E个点，时间复杂度为O(ElogE)。

代码：

#include <stdio.h>#include <string.h>#include <queue>#include <vector>using namespace std;#define INF 0xfffffff#define N 550struct Node{int to, len;bool operator <(const Node &a)const{return len > a.len;}};int V, E;bool vis[N];vector<Node> G[N];priority_queue<Node> Q;void Init(){for(int i = 1; i <= V; i ++){G[i].clear();vis[i] = 0;}while(!Q.empty())Q.pop();}int Prime(int choose){Node p;for(int i = 0; i < G[choose].size(); i++)Q.push(G[choose][i]);vis[choose] = 1;int ans = 0, cnt = V - 1;while(!Q.empty() && cnt){p = Q.top();Q.pop();if(vis[p.to])continue;vis[p.to] = 1;ans += p.len;cnt--;choose = p.to;for(int i = 0; i < G[choose].size(); i++){p = G[choose][i];if(!vis[p.to]) Q.push(p);}}return ans;}int main(){int loop;int start, end, len;Node p;scanf("%d", &loop);while(loop --){scanf("%d%d", &V, &E);Init();for(int i = 0; i < E; i ++){scanf("%d%d%d", &start, &end, &len);p.len = len;p.to = end;G[start].push_back(p);p.to = start;G[end].push_back(p);}int ans = Prime(1);printf("%d\n", ans);}return 0;}

（以上代码未运行）