抽象代数学习笔记(3)映射
来源:互联网 发布:java字符串比较大小 编辑:程序博客网 时间:2024/05/23 01:20
映射的概念高中数学中就已经引入了,最近我翻看了一下高中数学教材,书中对映射做了这样的定义:
映射的定义:设A、B是两个非空集合,如果存在一个法则
f ,使得对A中的每个元素a,按法则f ,在B中有唯一确定的元素b与之对应,则称f 为从A到B的映射,记作f:A→B 。
其中,b称为元素a在映射f下的象,记作:b=f (a); a称为b关于映射f的原象。集合A中所有元素的象的集合称为映射f 的值域,记作f (A)。
对比上一篇博文中介绍的关系,我猜,部分读者已经发现映射的这种定义与某些特殊“关系”的定义并不矛盾,事实也确实是如此,映射是可以从关系的角度定义的。
映射的定义’:集合A,B是非空集合,A
× B有一类子集R,如果∀a∈A ,有且只有一个b∈B ,使得(a,b)∈R ,称关系R为映射关系。
当然,将映射定义为一种对应规则的做法更加普遍。因此,以后我们把映射作为一种对应规则看待,并且直接称其为“映射”而非“映射关系”。
根据第一种定义方式,集合A中所有元素的象构成的集合称为值域,如果值域等于集合B,那么称映射
映射可以进行复合,但需要注意以下几点:
* 存在
* 即使
我们现在可以根据映射复合的概念定义可逆映射,但在此之前,需要引入恒等映射恒等映射。恒等映射的定义非常简单,也很容易理解:
f 是集合A到自己的映射,如果元素a的象就是它自己,那么称f 是恒等映射。记作iA
现在我们来介绍可逆映射:
设
f:A→B ,如果存在映射g:B→A ,使得g∗f=iA,f∗g=iB ,那么f 是可逆映射。
判断
最后要说的概念很简单,但是相当重要,那就是我们从高中起经常接触的“定义域”和“值域”。“定义域”就是映射中的集合A,“值域”是集合A中所有元素的象的集合,回想一下满射的定义你会知道值域是B的一个子集(不一定是真子集)。需要指出的是,离开“定义域”“值域”谈映射是没有任何意义的,这一点,可能从映射的定义’ 的角度看更加直观。这里举一个例子:
* 判断
这个例子的提法当然是有问题的,因为连
小结
为了一般性,我们介绍映射时,通常把映射的定义域和值域设为两个不同的集合。不过我希望大家能考虑一下定义域和值域为同一个集合的映射,尤其是可逆映射,这是置换的基础,也是日后在研究群时,经常会遇到的映射。因为本人懒惰,很多概念就不在文章中介绍啦,大家可以去找别的资料作为参考。
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