抽象代数学习笔记(5) 运算
来源:互联网 发布:erp系统维护 数据库 编辑:程序博客网 时间:2024/05/17 04:56
“运算”这个名词大家从小学就应该接触了,比如“四则运算”等等。不过在那个时候,运算一直是一个很模糊的概念,究竟什么是运算?我们接触的“加减乘除”为什么都被称作运算,它们在本质上有相同的地方?
设
S 是个非空集合,把S×S 到S 的映射称之为S 上的二元运算,简称为S 上的运算.
和我们之前说的映射一样,运算的定义离不开集合,因此谈论运算一定要说清楚运算是定义在哪个集合上。例如:映射
运算有两个基础性质:结合律,交换律。
若
(a∗b)∗c=a∗(b∗c) ,那么说运算*满足结合律若
a∗b=b∗a ,那么说运算*满足交换律
这两个性质在大家学习初等代数的时候似乎是自然成立的,那是因为,之前接触的实数集合上的四则运算恰好满足了这两个性质。需要指出的是,在广义的运算上,这两条性质不一定成立。最简单的例子就是矩阵乘法不满足交换律。有些代数系统甚至不满足结合律,这些非结合代数是代数的一个重要研究领域。
运算定义的那个集合中可能会出现一个比较特殊的元素
元素
另外,还有一个特殊元素叫做零元。零元的概念一般出现在环论中,它的定义是对于集合
一个常见的零元是整数乘法中的整数0,对于整数集合中的任意元素
到这里,学习抽象代数的预备知识就介绍完了,之后就要向大家介绍群—一个很基本的代数系统。
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