抽象代数学习笔记（9）阶数

在抽象代数中有两个概念可以被称为“阶数”：

群 G 中元素的个数称为 G 的阶数，当 G 中有无限多个元素，称 G 是无限阶的；当 G 中元素个数有限，称 G 是有限阶的。

对于群 G 的元素 a，如果有非负整数 n，使得 an=e，且 n 为使上等式成立的最小的非负整数，则说a是有限阶的，阶数为 n ，如果找不到这样的数，则说 a 是无限阶的。也有人把元素 a 阶数称为元素的周期。

为了讨论群的阶数和元素的阶数，群的阶数与其子群阶数之间的关系，需要引入陪集的概念。陪集在抽象代数中有着重要的地位，不仅是在研究阶数，在研究不变子群中也能发挥很大作用。

设 H 是群 G 的一个子群，H 在群 G 中确定关系一如下，a,b∈G,a b，当而且仅当 ab−1，称~是H在G中确定的右关系。

注意，~是一个等价关系，首先 aa−1=e∈G 说明了~的反身性。其次，(ab−1)−1=ba−1∈H，说明了~具有对称性。最后，(ab−1)(bc−1)=ac−1 ，说明了~的传递性。综上，~是一个等价关系。

对群 G 之任意非空子集 A,B，称 G 的子集

g∈G|g=ab,a∈A，b∈B

为A与B的乘积，记为AB。

当A为子群，B=b 时，记Ab=AB，并称Ab是A在G中的一个右陪集。
A=a，B为子群，则记aB=AB，并称aB为B在G中的一个左陪集。

现在来说说左右陪集和左右关系之间的联系：

设 H 是 G 的子群，~是 H 在 G 中确定的右关系，那么元素 a∈G 在等价关系~之下的等价类恰好是H的右陪集 Ha 。

按照等价类的定义，a 的等价类是 G 的子集 Sa={b∈G|b a}，如果 b∈Sa ，即 b ~ a , ba−1∈H ，令 h=ba−1 ，则 b=ha∈Ha ，这说明 Sa⊆Ha ；反之若 b∈Ha,b=ha ，那么 ba−1=h∈H,b a ，从而 b∈Sa 。这说明 Ha⊆Sa 。综上， Ha=Sa 。

现在，我们可以尝试着在群 G 的一个子集 H 和 Ha 之间建立一个双射：

f(h)=ha

证明过程省略，由于 f 是一个双射，那么 H 和 Ha 阶数相同。
最后，便可以引出拉格朗日定理：

G 是个有限群.那么 G 的任意子群 H 的阶数一定整除 G 的阶数。

由于群 H 的右陪集恰好是等价关系~的等价类，那么两个陪集要么相等要么不相交。因为 G 是个有限群，那么它必然含有有限个H的右陪集。我们可以取 a1,a2,...,ak 为等价关系~下的一个完全集，则

G=Ha1∪Ha2∪...∪Hak

每个陪集的阶数都为 |H| ，故 |G|=k|H| 。

阶数的概念已经介绍完了，我们比较侧重于群的阶数与元素阶数之间的关系，不过，他们本身还有一些需要注意的地方，这里只举个例子，其余的不再赘述：
假设群 G 的元素 a，b 的阶数都是有限的，但是元素 ab 的阶数可能是无限的。例如所有二维旋转变换构成的群中，顺时针旋转3°和顺时针旋转4°的变换阶数分别是120和90，但是顺时针旋转7°的阶数是无限的。