正整数拆分问题

Problem 1

求将正整数N无序拆分成若干个不大于M的正整数的方案数

设f[i][j]表示i拆分成若干个不大于j的正整数的方案数
考虑第i个数的大小是否为j
f[i][j]=f[i−j][j]+f[i][j−1]
是为前者，否为后者
显然可以将空间优化成一维
时间复杂度为O(nm)，空间复杂度O(n)

Problem 2

求将正整数N无序拆分成M个正整数的方案数

有序拆分即为组合问题，此略

Algorithm 1

由于其无序性，我们默认枚举拆分的正整数由小到大
设f[i][j][k]表示i拆分成j个正整数，第j个为k的方案数
枚举下一个数l，l≥k，则f[i+l][j+1][l]+=f[i][j][k]
这样dp（由当前状态枚举更新未来状态）俗称刷表，刷表的好处是若当前状态不合法，此次无需花费转移的复杂度
但是算一下，总复杂度为O(n3m)

Algorithm 2

考虑优化上述dp
我们换一种dp方式，枚举已有状态来更新当前状态，转移式为f[i][j][k]+=f[i−k][j−1][l]，l≤k
显然f[i−k][j−1][l]可以做前缀和，使得转移复杂度优化为O(1)
那么总复杂度优化为O(n2m)，由此可见，这样dp的好处是可以做前缀和之类的优化

但是时间复杂度仍然不够优

Algorithm 3

我们多花费了一维状态来限制无序的条件，事实上可以换一种思路
设f[i][j]表示i拆分成j个正整数的方案数
f[i][j]=f[i−1][j−1]+f[i−j][j]
在已选数集中增加一个1，方案数为f[i−1][j−1]
将已选数集中每个数加1，方案数为f[i−j][j]
我们甚至可以把空间优化成一维的
时间复杂度O(nm)，空间复杂度O(n)

Algorithm 4

233其实Problem 2可以转化为Problem 1

如图，将数的大小形象成高度，从左到右依次是M个正整数
其中高度总和为N
首先每个数非零，于是将最底层用M的代价填满，总和还剩N-M
从下往上看，剩下每一行的数的个数单调递减
那么每一行相当于一个拆分，问题变为将N-M拆分成若干个不小于M的正整数
可以套用Problem 1的DP