Codeforces Round #422 (Div. 2) D. My pretty girl Noora 动态规划

题目链接: My pretty girl Noora

题目大意

选美比赛, 有n个人参加, 分成若干轮, 每轮分成多个小组, 每个小组人数必须相等, 每个小组要选出一个最美的, 选法是两两比较, 所以x个人的小组需要经过A2x即x(x−1)2次比较, 如何分组使得比较次数最少
设f(x)为总共有x个人参加, 最少的比较次数
给你一个t, l, r
求t0⋅f(l)+t1⋅f(l+1)+...+tr−l⋅f(r)的值(mod 109+7)
范围: 1≤t≤109+7,2≤l≤r≤5⋅106

思路

后来看了题解才做出来的
有一个重要的性质是分的小组个数一定要是质数, 才能得到最小比较次数, 证明很容易, 但是很难想到往这个方向证明
设dp[i] := i个人参赛总的最小比较次数
有dp[i] = min{dp[i/k]*k + k*k/2}, 其中k为i的所有质因数
然后就循环计算答案

代码

#include <bits/stdc++.h>using namespace std;const int MAXN = 1E7, mod = 1e9+7, INF = 1E9;typedef long long ll;int ip[MAXN+1];ll dp[MAXN];int main(){    int t, l, r;    cin >> t >> l >> r;    for(int i=2; i<=r; ++i) ip[i] = i;    for(int i=2; i*i<=r; ++i)    {        if(ip[i] == i)        {            for(int j=i*i; j<=r; j+=i)            {                ip[j] = min(i, ip[j]);            }        }    }    dp[1] = 0;    for(int j=2; j<=r; ++j)    {        dp[j] = 1ll*INF*INF;        for(int x=j; x!=1; x/=ip[x])        {            dp[j] = min(dp[j], 1ll*dp[j/ip[x]]*ip[x] + 1ll*ip[x]*(ip[x]-1)/2);        }    }    ll ans = 0;    ll tt = 1;    for(int i=l; i<=r; ++i)    {        dp[i] %= mod;        ans += dp[i] * tt;        tt *= t;        tt %= mod;        ans %= mod;    }    cout << ans << endl;    return 0;}