剑指offer | 训练题45：孩子们的游戏（圆圈中最后剩下的数）

题目描述

每年六一儿童节,牛客都会准备一些小礼物去看望孤儿院的小朋友,今年亦是如此。HF作为牛客的资深元老,自然也准备了一些小游戏。其中,有个游戏是这样的:首先,让小朋友们围成一个大圈。然后,他随机指定一个数m,让编号为0的小朋友开始报数。每次喊到m-1的那个小朋友要出列唱首歌,然后可以在礼品箱中任意的挑选礼物,并且不再回到圈中,从他的下一个小朋友开始,继续0…m-1报数….这样下去….直到剩下最后一个小朋友,可以不用表演,并且拿到牛客名贵的“名侦探柯南”典藏版(名额有限哦!!^_^)。请你试着想下,哪个小朋友会得到这份礼品呢？(注：小朋友的编号是从0到n-1)

思路

/** * 思路：模拟整个报数循环，大概需要n*m的时间复杂度 * */class Solution {public:    int LastRemaining_Solution(int n, int m)    {        if(n < 1 ||m < 1) return -1;        vector<int> remain;        //给每个小孩子编号        for(int i = 0; i < n; i++){            remain.push_back(i);        }        //开始游戏，循环报数，终止条件是只剩一个小孩子        int i = -1, step = 0;        while(remain.size() > 0){            i++;            step++;            if(i >= remain.size()){ //模拟环                i = 0;            }            if(step >= m){                //满足条件，要删掉一个小朋友                remain.erase(remain.begin()+i);                step = 0;                i--;//注意这个时候删掉了一个小朋友，编号要回退一格            }        }        return remain[0];    }};

思路二：约瑟夫环

/** * 思路二：约瑟夫环问题 如果只求最后一个报数胜利者的话，我们可以用数学归纳法解决该问题，为了讨论方便，先把问题稍微改变一下，并不影响原意：    问题描述：n个人（编号0~(n-1))，从0开始报数，报到(m-1)的退出，剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。我们知道第一个人(编号一定是m%n-1) 出列之后，剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环（以编号为k=m%n的人开始）:k  k+1  k+2  ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2并且从k开始报0。现在我们把他们的编号做一下转换：       k     --> 0      k+1   --> 1     k+2   --> 2    ...    ...    k-2   --> n-2    k-1   --> n-1    变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题，假如我们知道这个子问题的解：    例如x是最终的胜利者，那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗？！！变回去的公式很简单，相信大家都可以推出来：x'=(x+k)%n。    令f[i]表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号，最后的结果自然是f[n]。    递推公式    f[1]=0;    f[i]=(f[i-1]+m)%i;  (i>1)    有了这个公式，我们要做的就是从1-n顺序算出f[i]的数值，最后结果是f[n]。    因为实际生活中编号总是从1开始，我们输出f[n]+1。 * */class Solution {public:    int LastRemaining_Solution(int n, int m)    {        if(n==0)            return -1;        if(n==1)            return 0;        else            return (LastRemaining_Solution(n-1,m)+m)%n;    }};