高中数学

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三招求圆的切线方程
江西省永丰中学 吴全根
求圆的切线方程主要分为已知切线的斜率k或已知切线上一点两种情况，而已知切线上一点又可分为点在圆上和点在圆外两种情况，面对这几种情况各采用什么方法求圆的切线方程呢？下面教你三招.
一、公式法 可求过圆上一点的切线方程. 公式如下：
① 过圆x 2+y 2= r2上点p（x0,y0)的切线方程为x0x+y0y= r2.
② 过圆（x-a)2+(y-b)2= r2上点p（x0,y0)的切线方程为（x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2.
③ 过圆x2+y2+dx+ey+f=0上点p（x0,y0)的切线方程 x0x+y0y+d +e +f=0 .
点评：（1）公式②中当a=b=0时即为公式①.
（2）上述公式是利用“圆的切线垂直过切点的半径”这一性质推导的，当切线的斜率不存在时公式也适用.
（3）当你忘记了这些公式，可利用公式推导方法求之.
例1 求过点a（4，1）且与圆（x-2)2+(y+1)2=8 相切的切线方程.
解一：（公式法） (4-2)2 +(1+1)2=8 点a（4，1）在圆上，
圆的切线方程为（4-2)(x-2)+(1+1) (y+1)=8,即x+y-5=0.
解二：（公式推导法） 圆心c（2，-1） k =1 过点a 的切线的斜率k= -1.
所求切线方程为y-1= -1(x- 4),即x+y-5=0.
二、待定系数法 可求过圆外一点p(x0,y0)的圆的切线方程或求已知切线的斜率k的切线方程. 此时可设圆的切线方程为y-y =k(x-x )或y=kx+b,然后利用“圆心到直线的距离等于半径” 这一性质求k .
例2 求过点m（2，4）向圆（x-1)2+(y+3)2=1所引的切线方程.
解：设所求切线方程为y-4=k(x-2)即kx-y-2k+4=0 (倾斜角不为900）, d= , k= , 切线方程为24x-7y-20=0.
当倾斜角为900时，切线方程为x=2. 过m点的切线方程为24x-7y-20=0或 x=2.
点评：因为过圆外一点p（x0,y0）引圆的切线有两条，故用此法求切线的斜率k一般有两个值, 若k只有一个值，说明还有一条切线，其斜率不存在，方程为x=x0 ，应补回来.
三、判别式法 其依据是圆的切线的定义.
例3 已知圆c：x2+y2+2x-4y+3=0 ，若圆c 的切线在坐标轴上的截距绝对值相等，求此切线方程.
解：（1）当截距不为0时，设切线方程为y=-x+b 或y=x+c 分别代人圆c的方程得2x2-2(b-3)x+(b2- 4b+3)=0，或2x2+2 (c-1)x+(c2- 4c+3)=0
直线与圆相切，上述两方程均有等根， =0，由此可得：b=3 或 b= -1,c=5 或 c=1
切线方程为x+y-3=0 或x+y+1=0 或x-y+5=0 或x-y+1=0.
(2) 当截距为0时，类似可求此时切线的方程为y=(2± )x.
点评：（1）此题也可以用方法二求解；（2）截距相等时别忘了截距为0的情况.