最小生成树问题

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最小生成树问题

  

  

这里介绍最小生成树（Minimum Spanning Tree）问题

  

  

  

  

  

所谓生成树，就是对于一个完全连通的带权无向图，用V-1 条边连接

V 个顶点而形成的树，即为该图的生成树，如上图所示

  

  

而在所有的生成树中，边上的权值相加最小的生成树，即为最小生成树，

如何找到一张图中的最小生成树，就是最小生成树问题

  

「最小生成树是一副连通加权无向图中一棵权值最小的生成树」

  

  

  

  

  

最小生成树问题，在实际生活中有很多应用，如：电缆的布线设计

  

通过发电站将电输送到每一个节点，其实并不需要每两个节点之间

都有电缆连接，只需要保证每个节点都有电即可。这种情况下，电

缆布线的最优设计就是找到这张图的最小生成树，让布置电缆的总

费用最低

  

即最小生成树提供了一个各个节点之间均连通，同时连通的总费用

又最小的方案

  

  

  

  

  

对于最小生成树问题，通常针对的是连通带权无向图，所以最小生

成树必须要带权，不然就没有最小的概念了

  

如果一个图不连通，也可以分别在每个连通分量上求各自的最小生

成树，最后得到的通常叫做最小生成森林

  

  

  

  

  

将最小生成树问题抽象出来，即在有V 个顶点的连通带权无向图

中找V-1 条边，这 V-1 条边必须将 V 个顶点连接起来，且使得最

终的总权值最小

  

1）找V-1 条边

  

2）连接V 个顶点

  

3）总权值最小

  

  

  

  

  

  

  

切分定理

  

  

实现最小生成树的Prim算法和 Kruskal 算法都不约而同的应用了

切分定理（Cut Property）

  

  

在介绍切分定理之前，首先应该知道什么叫做切分。把图中的顶点

分为两部分，称为这张图的一个切分（Cut）

  

  

  

  

  

  

当定义了一个图的切分之后，就可以得到一个新的概念：

  

如果一条边的两个端点，属于切分不同的两个阵营，就称

这条边为横切边（Crossing Edge）

  

  

  

  

  

  

切分定理：

  

给定任意切分，横切边中权值最小的边必然属于最小生成树

  

如：在下图的切分中，横切边0-7 是权值最小的边，权值为

0.16，所以 0-7 一定是这张图的最小生成树中的一条边

  

  

  

  

  

  

切分定理的简单证明：

  

  

  

前提：切分将一个图分成了两部分，中间用横切边进行连接。

根据切分定理可知，横切边中权值最小的边，一定属于最小

生成树

  

  

反证法：

  

令三条横切边分别为e、f、g，且 e 为权值最小的横切边，

T 为图的最小生成树

  

假设T 包含 f，而不包含 e，那么如果将 e 加入 T，那么

e 和 f 就必然形成了环，不再是生成树

  

显然，e 的权值小于 f，那么用 e 替换 f 就可以形成一个

权值小于T 的生成树，与 T 为最小生成树矛盾

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

【made by siwuxie095】