关于最小生成树问题

       我们通过一个例子来看一下最小生成树的求法。

       分别用普里姆算法（从A结点开始）和克鲁斯卡尔算法计算下图的最小生成树。

 

       ok，首先运用Prim算法进行计算：

UV-UBCDEFTE{A}{B,C,D,E,F}AB
11AC
13~
∞AE
16~
∞AB
11{A,B}{C,D,E,F} BC
7BD
3AE
16BF
5BD
3{A,B,D}{C,E,F} BC
7 AE
16BF
5BF
5{A,B,D,F}{C,E} BC
7 FE
12 BC
7{A,B,D,F,C}{E}   FE
12 FE
12{A,B,D,F,C,E}{}              图表可能看着有点乱，没关系，我们先来看一下Prim算法的基本思想：假设N=(V,{E})是连通图，TE是N上最小生成树中边的集合。算法从U={u0}(u0∈V)，TE={}开始，重复执行下述操作：在所有u∈U, v∈V-U的边(u,v)∈E中找一条代价最小的边(u0,v0)并入集合TE，同时v0并入U，直至U=V为止。此时TE中必有n-1条边，则T=(V,{TE})为N的最小生成树。

       那么对照例图和表格我们就很容易地可以看出该算法的计算流程，首先从结点A开始，分别写出与其他结点的路径和权值，如果不连通则取权值为无穷，于是就有了表格的第二行，TE取代价最小的AB；然后将B添加到U，写出结点B与其他结点的路径和相应的权值，当然A就不用再写了，大家可以看到，凡是添加到最小生成树中的路径，之后该列则为空，因为它已经是代价最小的边，不可能再有其他边比它更小了；还有一个问题。为了方便起见，在同一列中，如果对应边的权值不小于其前一个，则将其直接落下来，这样就可以只比较那个“更小的”，这样就不用每一行都去比较了；按照这个思路，表格的第三行，BD的权值为3，小于其前一个的权值无穷，则写入3；第五行，FE的权值为12，小于其前一个AE的权值16，所以写入12；其实每一行和每一列都是在找那个代价最小的路径，这样求得的集合就是最小生成树，当然还得加入结点的集合，这样所示表格也就不难理解了，每一行找到一条代价最小的路径，加入TE，然后将结点加入U，再去比较其他的路径，就这样一直走下去，最后得到最小生成树集合。

       接下来进入克鲁斯卡尔算法：

       首先看一下它的基本思想：先构造一个只含 n 个顶点的子图 SG，然后从权值最小的边开始，若它的添加不使SG 中产生回路，则在 SG 上加上这条边，如此重复，直至加上 n-1 条边为止。一句话，“不构成环的情况下，每次选取最小边” 。它的出发点就是为使生成树上边的权值之和达到最小，则应使生成树中每一条边的权值尽可能地小。因此我们就从权值最小的边开始构造，前提是不构成环。

       那么我们直接从图中找权值最小的边进行组合，首先是BD，然后是BF，BC，CF不行，因为其构成了环，AB可以，EF也可以，ok，这样就得到了最小生成树边的集合TE={BD,BF,BC,AB,EF}，是不是比Prim算法简单的多？！

      所以该图的最小生成树可以表示为T=（{A,B,D,F,C,E}，{BD,BF,BC,AB,EF}），当然最好还是可以画出图来，这样会更加直接明了。