最小生成树问题

1.概念

    http://www.tyut.edu.cn/kecheng1/site01/suanfayanshi/minispantree.asp

    根据权值递增的顺序连接两个点

2.概述

在一给定的无向图G = (V, E) 中，(u, v) 代表连接顶点 u 与顶点 v 的边（即），而 w(u, v) 代表此边的权重，若存在 T 为 E 的子集（即）且为无循环图，使得的 w(T) 最小，则此 T 为 G 的最小生成树。

最小生成树其实是最小权重生成树的简称。

3.求最小生成树的一个典型实例

问题：假设要在 n 个城市之间建立通讯联络网，则连通 n 个城市只需要修建 n-1条线路，如何在最节省经费的前提下建立这个通讯网？

解释：n个城市间，若任意两个城市都有一条通讯线，则最多可设置n(n-1)/2条线路，但实际上仅需n-1条线路，即可实现n个城市连通通讯。

问题演化：

要在n个城市间建立通信联络网，

顶点——表示城市；

边的权——城市间建立通信线路所需花费代价；

问题分析：

n个城市间，最多可设置n(n-1)/2条线路；

n个城市间建立通信网，只需n-1条线路；

如何在可能的线路中选择n-1条，能把所有城市（顶点）均连起来，且总耗费（各边权值之和）最小。

该问题等价于：在n个顶点的连通网中，构造网的一棵最小生成树, 即：在 e 条带权的边中选取 n-1 条边(不构成回路), 使“权值之和”为最小。

如何求最小生成树？有两种方法：Prim算法和Kruskal算法。