8.3 单位矩阵和逆矩阵

　　线性代数提供了被称为逆矩阵（matrix inversion）的强大工具。对于大多数矩阵A，我们都能通过矩阵逆解析地求解式Ax=b。

8.3.1 单位矩阵

　　为了描述矩阵逆，首先需要定义单位矩阵（identity matrix）的概念。任意向量和单位矩阵相乘，都不会改变。我们将保持n维向量不变的单位矩阵记作In。形式上，In∈Rn×n，

∀x∈Rn,Inx=x(8.20)

　　单位矩阵的结构很简单：
　　1. 它是“正方形”（行数与列数相同）
　　2. 所有沿主对角线的元素都是1，而所有其他位置的元素都是0

⎡⎣⎢100010001⎤⎦⎥

8.3.2 逆矩阵概念

　　矩阵A的逆矩阵（matrix inversion）记作A−1，其定义的矩阵满足如下条件：

A−1A=In(8.21)

　　其实矩阵的逆矩阵跟倒数的性质一样，不过只是我们习惯用A−1表示。而倒数可以表示成1/x或者x−1的形式，而不能把A的逆矩阵写成1/A的形式，其主要原因是矩阵不能被除。
　　为了理解矩阵的逆，其和倒数还有其他相似之处：

• 当我们将一个数乘以它的倒数我们得1。1×(1/8)=1
• 当一个矩阵乘以逆时，我们得到了单位矩阵。A×A−1=I
• 矩阵与逆矩阵乘法与数乘一样，交换位置结果不变(1/8)×8=1，即乘法满足交换律A−1×A=I

8.3.3 行列式和求解逆矩阵

　　以二维矩阵为例，其逆矩阵求解公式如下：

[acbd]−1=1ad−bc[d−c−ba]

　　换句话说：交换a和b的位置，将负数置于b和c的前面，并将所有元素除以行列式（ad-bc）。由于0不能为除数，因此判断一个矩阵是否为逆的要条件就是行列式是否为0。矩阵的行列式计为det（determinatnt的缩写），其意义就是决定因子，即决定逆矩阵是否存在。

det[acbd]≠0⇔[acbd]−1

　　例题：

　　利用逆矩阵的概念逆推，即将矩阵乘以逆矩阵，最终求得单位矩阵。

8.3.4 求解矩阵方程

　　矩阵中没有被除的概念，而矩阵的逆，可以解决“矩阵除法”的问题。假如我们没有“除法”规则，那么解决“把10个苹果分给两个人”的问题，可以采取2的倒数（12=0.5）来计算，那么答案就是10×0.5=5，也就是每个人5个苹果。
　　我们也可以利用以上方法，已知矩阵A和矩阵B，求解矩阵X。即XA=B。最好的方法是直接除以A，得到X=B/A，但事实上我们不能直接除以A。但我们可以在公式两边都乘以A−1。即XAA−1=BA−1。
　　因为AA−1=I，所以就得到XI=BA−1。而此时单位矩阵I可以直接去掉，于是求得X=BA−1。因此通过A−1，就可以直接计算出矩阵X。

例题：
有一个几个家庭组团出去旅行，出发的时候是乘坐大巴，每位儿童3元，每个大人3.2元，一共花费了118.4元。在回程时，他们选择乘坐火车，每名儿童3.5元，每名成人3.6元，总计135.20元。求解有多少儿童和大人？

　　我们尝试用矩阵思维来解答，首先设置好矩阵（注意矩阵的行和列是否正确）：

　　然后求解A的逆矩阵：

　　根据公式X=BA−1，求解X。

　　根据求解所得，一共有16个儿童和22个大人。这样的计算其实非常有利于工程师设计建筑物，视频游戏和计算机动画等许多地方，它是解线性方程组的一种解法。虽然是求矩阵的逆，只要打开Python工具的NumPy库，输入numpy.inv(A)，即可求得A的逆矩阵。虽然这个过程是由计算机完成，但我们还是有必要去了解公式，因为这正是数学的美妙之处。