《算法概论》第八章NP完全问题部分习题解

8.10利用推广的方法证明NP-完全性。对以下每个问题，通过证明它是本章某个NP-完全问题的推广说明它是NP-完全的。
（a）子图同构：给定两个作为输入的无向图G和H，判断G是否为H的一个子图（即删了H中的某些顶点和边后，得到的新的图最多只要再修改某些顶点的名字，便可与G相同），且如果是，返回由V（G）和V（H）的相关映射。
（b）最长路径：给定图G和整数g，求G中一条长为g的简单路径。
（c）最大SAT：给定一个CNF公式和整数g，求满足其中至少g个子句的真赋值。
（d）稠密子图：给定一个图和两个整数a和b，求G中的a个顶点，使得它们之间最少有b条边。
（e）稀疏子图：给定一个图和两个整数a和b，求G中的a个顶点，使得他们之间最多有b条边。
（f）集合覆盖。（该问题衍变出了两个著名的NP-完全问题）
（g）可靠网络：给定两个nxn矩阵，一个距离矩阵dij，一个连接需求矩阵rij以及预算b。我们要求一个图G=（{1，2……，n}，E）使得：（1）其中所有边的总代价不超过b；（2）在任意两个不同顶点i和j之间，存在rij条顶点互不相交的路径。（Hint：假设所有的dij都为1或2，b=n，所有的rij=2.）

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答案：
（a）Rudrata回路事实上是子图同构的问题。我们先令图G为一个环，环上的顶点数等于图H的顶点数。如果G是H的同构的子图，则说明H存在Rudrata回路。所以Rudrata回路事实上是子图同构的问题。
（b）只要设g=|V|-1，就可得到一条Rudrata路径。
（c）设g=子句的总数目，便是SAT。
（d）若为最大团问题，我们可以设b=a*（a-1）/2,此时，这a个顶点两两相连。
（e）设b=0，便可得到最大独立集问题。
（f）可以看作是最小顶点覆盖的一个推广
（g）假设所有的dij都为1或2，b=n，所有的rij=2。此特例即为一个TSP。

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8.22

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答案：
（a） 可以从通过顶点覆盖的减少证明是NP完全。给出了一个顶点覆盖实例（G，b），其中G是一个无向图，我们想要一个小于等于b顶点覆盖，我们构建了一个实例（G，b）
FAS如下：
如果G =（V，E）有n个顶点v1，…，vn，然后使G0 =（v0，E0）是一个有向图，包含2n个顶点W1，W’ 1，…，WN，W’ N，和N + 2 | E |（有向）边，（WI，i）所有i = 1,2，…，n（w’i，wj）和（w’j，wj）每（vi，vj）∈E。由于FAS是可以在多项式时间内验证的，所以该问题属于NP问题。
（b）设G中一个大小为b的顶点覆盖为C，对于任意定点vi属于C，设其在G’中相对应的顶点为wi和w’i，那么将边（wi，w’i）添加进E’中，将C中的每个顶点进行处理，得到了相应的E’，而E’就是要求解的FAC问题的结果，它的大小为b，这是因为对于顶点wi和wi’，当去掉(wi,wi’)之后所有与wi相邻的边都不可能位于任何一个环中，这是因为wi，不存在出的边，同理可得与wi’相邻的边都不可能位于任何一个环中，这是因为wi’，不存在入的边。
（c）对于G中的任意一条边(vi,vj)，设边中顶点在G中对应着wi，wi’，wj，wj’，相对应的就是边(wi,wi’)，(wj,wj’)，(wi’,wj)以及(wj’,wi)，如果E’是G’的一个大小为t的FAS，那么这四条变中至少有一个是属于E’的否则就会形成环，那么边e一定有一个端点是属于{wi,wj}，如果wi是e的端点，那么将vi，加入到C中，否则将vj加入到C中，那么C就是G的与一个 大小最大为t的顶点覆盖。

本次作业我选了两道题。通过复习课本和查阅相关资料，完成了以上两题的解答，由于我用的是英文版本的教材，所以将其翻译成中文时，借助了一些资料和自己的理解，其问题或答案可能有不正确的地方，如发现，还望指正。