算法概论第八章部分习题解答

8.3 吝啬SAT问题是这样的：给定一组子句（每个子句都是其中文字的析取）和整数k，求一个最多有k各变量为true的满足赋值 —— 如果该赋值存在。证明吝啬SAT是NP完全问题。
1.证明吝啬SAT是NP问题。
2.证明吝啬SAT是NP完全问题。

解：

1.若存在一组对应于吝啬SAT问题子句变量的值，将这组值代入该问题中，可以在多项式时间内验证问题的解是否为真。因此吝啬SAT问题是NP问题。

2.将所有变量的总个数设为k，可以将SAT问题归约为吝啬SAT问题，此归约过程需要多项式时间，又因为SAT问题为NP完全问题，则吝啬SAT问题为NP完全问题。

8.8 在精准的4SAT（EXACT 4SAT）问题中，输入为一组子句，每个子句都是恰为4个文字的析取，且每个变量最多在每个子句中出现一次。目标是求它的满足赋值——如果赋值存在的话。证明EXACT 4SAT问题为NP完全问题。

解：

先证明EXACT 4SAT问题为NP问题：

若存在一组对应于EXACT  4SAT问题子句变量的值，将这组值代入该问题中，可以在多项式时间内验证问题的解是否为真。则EXACT  4SAT问题是NP问题。

再EXACT 4SAT问题为NP完全问题：

将3SAT问题归约到EXACT 4SAT问题上。对于任何一个3SAT问题，我们可以对每一个子句进行一系列操作，首先就是将子句中重复的文字进行删减，因为都是析取，所以删除重复的文字是不会影响结果的。接下来，如果一个文字出现了其否定和肯定在同一子句中，则将这个文字删除即可。最后一步就是，添加一些无关紧要的哑变量，将每个子句得文字数目扩充到4。 

此归约过程需要多项式时间。又因为3SAT问题是NP完全问题，则EXACT  4SAT问题为NP完全问题。