算法概论：第八章NP-完全问题——课后题8.16

在写题目之前，想先总结一下这一章的基本内容。这一章主要讲的是NP, NPC问题。

关于NP问题

• P问题，是它能够找到一个在多项式时间内解决的算法；而NP问题不是非P问题，而是可以在多项式时间里验证一个解的问题。
• NP问题：所有搜索问题都称为NP问题。搜索问题的特征性定义是，任意可能解的正确性都能被快速检验，也就是说，存在以问题实例I（用于确定待求解问题的数据）和可能解S为输入的高效检验算法C，其输出时间为true的充要条件是S确实是I的解。
• NP-完全问题（NPC）：存在一个NP问题，所有的NP问题都可以归约化成它。这里说明了两个条件。一是它是一个NP问题，二是所有NP问题都可以归约化为它。

一个问题A可以归约为问题B的含义是，可用问题B的解法解决问题A，或者说，问题A可以“变成”问题B；举个例子，一元一次方程求解可以归约化为一元二次方程求解。（B的复杂度大于等于A的复杂度）

也就是说，如果能找到一个变化法则，对任意一个程序A的输入，都能按这个法则变换成程序B的输入，使两程序的输出相同，则说明问题A可以归约化为问题B。下图来自课本。描述了将求解问题B的算法可以转换为求解问题A的算法的过程。

算法概论——第8章习题8.16

1.题目内容

实验开发新菜品，有多种材料可供选择，希望尽可能多地使用它们，但是有些材料不适合一起搭配。假设有n种可用材料，将任意两种材料间的不和谐度表示成一个n x n矩阵，其中不和谐度是一个位于0.0到1.0之间的值，数值越高表示不和谐度越大。以下是5种材料相互搭配情况：

 

在材料搭配时，由于采用了一些不是完美和谐的材料，每种材料组合都会有一定的负面影响，经过量化后，等于其中不搭配材料间的不和谐度之和。举例来说，材料组合{1，3，5}的负面影响是0.2 + 1.0 + 0.5 = 1.7，我们希望这个值越小越好。

 

本题目给出的是一个烹调实验（EXPERIMENTAL CUISINE）问题

输入：可选材料的数量n；n x n的不和谐矩阵D；某个值p >= 0

输出：使得负面影响值不超过p的最大材料数量

 

证明如果烹调实验在多项式时间内可解，则3SAT也能。

2. 证明思路

首先，该问题可转化为考虑如何把一个3SAT问题归约为烹调实验（3SAT→烹调实验）问题。由于在课本中已证明3SAT问题归约到独立集问题（3SAT→独立集），那么如果证明了独立集问题可以归约到烹调实验问题（独立集→烹调实验），根据归约的“可传递性”（3SAT→独立集→烹调实验），3SAT问题也可以归约到烹调实验问题（3SAT→烹调实验），则可证明如果烹调实验在多项式时间内可解，则3SAT也能。

独立集问题，就是给定一个包含g个顶点的图G，求两两互不相邻的顶点构成的最大集合。我们将图G用邻接矩阵来表示，相连的节点标为1，不相连的节点标为0。如下图转为矩阵可以得到

从邻接矩阵可以看到，节点是否邻接可以表示烹调实验中的材料是否完美匹配。顶点i和顶点j表示烹调实验中的材料i和材料j，顶点i和顶点j邻接代表了材料i和材料j是完全不和谐的，不和谐度为1，最后得到图G的独立集的大小就是烹调问题中使得负面影响不超过0的最大材料数量。

下面整理一下归约过程。给定独立集的一个实例（G, g），我们采用以下方式生成一个烹调问题实例（n, D, p）：

• 对图G生成一个邻接矩阵，1表示邻接，0表示不邻接，得到的矩阵是相当于D；
• n值相当于g值，p值为0；

上述归约过程仅需多项式时间。下面给出反向映射实例解的方法。需要证明以下内容：

给定的包含n个材料的烹调实验，负面影响不超过0的最大材料数集合S，可以将其高效地恢复成实例（G, g）的一个独立集。

对于任意的节点i，集合S不会选择与节点i相连的那些节点，因为它们与节点i的不和谐度都是1，只要选择了就会超过p值（p值为0）。因此，对于上图来说，如果S选了节点0，则与节点0连接的节点1和节点2就不会包含在S中，但可以选择节点3或4或5；如果选了节点3，就不能选择节点2和5，能选节点4，然后得到一个S集合是{0,3,4}。因为烹调实验中包含n个材料，每个材料代表了一个顶点，所以选出来的最大材料集合可以直接作为图G的独立集。

证明完成。