算法学习（动态规划 一）钢条切割

给定一段长度为n的钢条和一个价格表，求切割钢条方案，使得销售收益最大：

价格表：

长度i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 价格p 1 5 8 9 10 17 17 20 24 30

经过分析，因为在距离钢条左端i（i = 1, 2, 3…n）处，总是可以选择切割或者不切割，因此可得，其共有

2n−1

种切割方案，以下是使用自顶向下递归实现的代码

/** 该方法使用穷举统计，将所有的情况全部统计得出最优解 @param prices 给定的价目数组 @param index 获取当前位置的最优解 @return 返回给定位置的最优解 */int exhaustionStatistics (int *prices, int index){    //TODO: 1.当所选位置为0时，价值也为0    if (index == 0)        return 0;    //TODO: 2.通过递归调用来获取最优解    int result = -INT_MAX;    for (int i = 1; i <= index; i++)    {        int addPrice = prices[i - 1] + exhaustionStatistics(prices, index - i);        result = result > addPrice ? result : addPrice;    }    return result;}

经过测试，如果输入的规模变大，则会导致程序运行时间变得很长，这是因为此函数考察了所有的可能，因此，规模的增大是的运行时间呈指数增长

为了节省更多的时间，可以使用动态规划的方法，一种是带备忘的自顶向下法，仍然按照递归实现，但是会保存每个子问题的解，当求解时，如果已经保存过此解，则直接返回：

/** 求解最优解问题 @param prices 给定的价目数组 @param index 获取当前长度的最优解 @return 返回最优解 */int Advanced::memoizedCutPod(int *prices, int index){    //TODO: 1.创建一个备忘录数组，用来保存已经求解出的各个长度最优解    int memo[index];    for (int i = 0; i < index; i++)        memo[i] = -INT_MAX;    return memoizedCutPodAux(prices, index, memo);}/** 根据备忘录自顶向下来求解最优解 @param prices 给定的价目数组 @param index 获取当前长度最优解 @param memo 保存各个长度最优解的备忘录 @return 返回最优解 */int Advanced::memoizedCutPodAux(int *prices, int index, int *memo){    //TODO: 1.备忘录当前位置中存在数据的话，直接返回    if (memo[index - 1] >= 0)        return memo[index - 1];    //TODO: 2.如果当前位置为0，则最优解为0    int result;    if (index == 0)        result = 0;    else    {        //TODO: 3.在其他位置时，首先设置最小值        result = -INT_MAX;        for (int i = 1; i <= index; i++)        {            //TODO: 4.递归求解出最优解            int addPrice = prices[i - 1] + exhaustionStatistics(prices, index - i);            result = result > addPrice ? result : addPrice;        }    }    //TODO: 5.求出后记录在备忘录中    memo[index - 1] = result;    return result;}

另一种是自底向上法，任何子问题的求解都依赖于更小的子问题，按照规模排序，当求解某个子问题时，它所依赖的更小的子问题已经求解完毕，结果已经保存：

/** 自底向上求解最优解 @param prices 给定的价目数组 @param index 获取当前长度的最优解 @return 返回最优解 */int Advanced::bottomUpCutRod(int *prices, int index){    //TODO: 1.创建一个数组用来保存各个位置的最优解，将0的位置的值设置为0，意为0的长度的价格为0    int memo[index + 1];    memo[0] = 0;    //TODO: 2.遍历求取当前长度的最优解    for (int j = 1; j <= index; j++)    {        int result = -INT_MAX;        for (int i = 1; i <= j; i++)        {            //TODO: 3.从保存的数组中获取最优解            int addPrice = prices[i - 1] + memo[j - i];            result = result > addPrice ? result : addPrice;        }        //TODO: 4.将最优解保存入数组        memo[j] = result;    }    return memo[index];}