CRC校验

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CRC校验

基本概念和原理

CRC是循环冗余校验码，其基本原理是：在K位信息码后再拼接R位的校验码，整个编码长度为N位，因此，这种编码也叫（N，K）码。对于一个给定的（N，K）码，可以证明存在一个最高次幂为N-K=R的多项式G(x)。根据G(x)可以生成K位信息的校验码，而G(x)叫做这个CRC码的生成多项式。 校验码的具体生成过程为：假设发送信息用信息多项式C(X)表示，将C(x)左移R位，则可表示成C(x)*x的R次方，这样C(x)的右边就会空出R位，这就是校验码的位置。通过C(x)*X的R次方除以生成多项式G(x)得到的余数就是校验码。

多项式和二进制数有直接对应关系：x的最高幂次对应二进制数的最高位，以下各位对应多项式的各幂次，有此幂次项对应1，无此幂次项对应0。可以看出：x的最高幂次为R，转换成对应的二进制数有R+1位。

多项式包括生成多项式G(x)和信息多项式C(x)。

如生成多项式为G(x)=x^4+x3+x+1， 可转换为二进制数码11011。

而发送信息位 1111，可转换为数据多项式为C(x)=x^3+x2+x+1。

生成多项式

是接受方和发送方的一个约定，也就是一个二进制数，在整个传输过程中，这个数始终保持不变。

在发送方，利用生成多项式对信息多项式做模2除生成校验码。在接受方利用生成多项式对收到的编码多项式做模2除检测和确定错误位置。

应满足以下条件：

• a、生成多项式的最高位和最低位必须为1。
• b、当被传送信息（CRC码）任何一位发生错误时，被生成多项式做除后应该使余数不为0。
• c、不同位发生错误时，应该使余数不同。
• d、对余数继续做除，应使余数循环。

CRC校验码位数

CRC校验码位数 = 生成多项式位数 -1。注意有些生成多项式的简记式中将生成多项式的最高位1省略了。

生成步骤

• 1、将x的最高次幂为R的生成多项式G(x)转换成对应的R+1位二进制数。
• 2、将信息码左移R位，相当于对应的信息多项式C(x)*x的R次方。
• 3、用生成多项式（二进制数）对信息码做除，得到R位的余数。
• 4、将余数拼到信息码左移后空出的位置，得到完整的CRC码。

**【例】**假设使用的生成多项式是G(x)=x^3+x+1。4位的原始报文为1010，求编码后的报文。

解：

• 1、将生成多项式G(x)=x^3+x+1转换成对应的二进制除数1011。
• 2、此题生成多项式有4位（R+1）(注意：4位的生成多项式计算所得的校验码为3位，R为校验码位数)，要把原始报文C(x)左移3（R）位变成1010 000
• 3、用生成多项式对应的二进制数对左移3位后的原始报文进行模2除（高位对齐），相当于按位异或：

得到的余位011，所以最终编码为：1010 011