【AtCoder Grand 017C】Snuke and Spells 题解

题目大意

      有 n 个球，每个球上有数字 a[i]。
      游戏是这样的：若当前还剩 k 个球，就把写有数字 k 的球全部拿走，重复这个过程。你可以修改若干球上的数字，使得最后可以拿完所有的球。求最少修改多少个球。
      并且问题是动态的，有 m 次操作，每次会修改一个球上的数字，每次修改完后问你游戏答案。
      a[i]<=n<=2e5， m<=2e5

题解

      日常被欺诈。

      如果位置 x 放了 y 个球，我们看成 (x-y+1, x) 这样一条线段。那现在数轴上就有很多条线段，其中没被覆盖的位置数量就是答案。

      如何证明？
      首先这肯定是下界。
      其次我们能构造出一种方案使其可行。若当前数轴上有空位，那就说明别的地方肯定有重复覆盖的位置。重复覆盖要么是线段相交，要么是线段包含，而这两者都必定有线段的开头被重复覆盖，因此我们一定能找到这个开头，挖掉 1 的长度来补数轴上的空位。
      因此这就是最优解。

代码

#include<cstdio>#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)using namespace std;const int maxn=2e5+5;int n,a[maxn],num[maxn];int ans,cov[maxn];void ADD(int x){    if (x<=0) return;    if (++cov[x]==1) ans++;}void DEC(int x){    if (x<=0) return;    if (--cov[x]==0) ans--;}int m;int main(){    scanf("%d %d",&n,&m);    fo(i,1,n)    {        scanf("%d",&a[i]);        num[a[i]]++;        ADD(a[i]-num[a[i]]+1);    }    while (m--)    {        int x,y;        scanf("%d %d",&x,&y);        DEC(a[x]-num[a[x]]+1);        num[a[x]]--;        num[y]++;        ADD(y-num[y]+1);        a[x]=y;        printf("%d\n",n-ans);    }}