数据结构 学习笔记（八）：图（中）：最短路径问题（单源最短路径 Dijkstra，多源最短路径 Floyd）

7.1 最短路径问题

7.1.1 概述

图论里最少的步骤就是最短路径问题。

最短路径问题的抽象

在网络中，求两个不同顶点之间的所有路径中，边的权值之和最小的那一条路径。这条路径就是两点之间的最短路径。

第一个顶点为源点，最后一个顶点为终点。

问题分类

单源最短路径问题：从某固定源点出发，求其到所有其他顶点的最短路径。

单源最短路径问题又分为两类：
- （有向）无权图
- （有向）有权图

多源最短路径问题：求任意两顶点间的最短路径。

7.1.2 无权图的单源最短路

思路：按照递增（非递减）的顺序找出各个顶点的最短路。 类似于 BFS算法。

算法

与 BFS算法相比较，体会不同。

假设我们是用邻接表存的。

C语言实现

/* 邻接表存储 - 无权图的单源最短路算法 *//* dist[]和path[]全部初始化为-1 */void Unweighted ( LGraph Graph, int dist[], int path[], Vertex S ){    Queue Q;    Vertex V;    PtrToAdjVNode W;    Q = CreateQueue( Graph->Nv ); /* 创建空队列, MaxSize为外部定义的常数 */    dist[S] = 0; /* 初始化源点 */    AddQ (Q, S);    while( !IsEmpty(Q) ){        V = DeleteQ(Q);        for ( W=Graph->G[V].FirstEdge; W; W=W->Next ) /* 对V的每个邻接点W->AdjV */            if ( dist[W->AdjV]==-1 ) { /* 若W->AdjV未被访问过 */                dist[W->AdjV] = dist[V]+1; /* W->AdjV到S的距离更新 */                path[W->AdjV] = V; /* 将V记录在S到W->AdjV的路径上 */                AddQ(Q, W->AdjV);            }    } /* while结束*/}

7.1.3有权图的单源最短路（Dijkstra算法）

定义

按照递增的顺序找出到各个顶点的最短路。（Dijkstra算法）

Dijkstra算法

伪代码：

C语言实现

/* 邻接矩阵存储 - 有权图的单源最短路算法 */Vertex FindMinDist( MGraph Graph, int dist[], int collected[] ){ /* 返回未被收录顶点中dist最小者 */    Vertex MinV, V;    int MinDist = INFINITY;    for (V=0; V<Graph->Nv; V++) {        if ( collected[V]==false && dist[V]<MinDist) {            /* 若V未被收录，且dist[V]更小 */            MinDist = dist[V]; /* 更新最小距离 */            MinV = V; /* 更新对应顶点 */        }    }    if (MinDist < INFINITY) /* 若找到最小dist */        return MinV; /* 返回对应的顶点下标 */    else return ERROR;  /* 若这样的顶点不存在，返回错误标记 */}bool Dijkstra( MGraph Graph, int dist[], int path[], Vertex S ){    int collected[MaxVertexNum];    Vertex V, W;    /* 初始化：此处默认邻接矩阵中不存在的边用INFINITY表示 */    for ( V=0; V<Graph->Nv; V++ ) {        dist[V] = Graph->G[S][V];        if ( dist[V]<INFINITY )            path[V] = S;        else            path[V] = -1;        collected[V] = false;    }    /* 先将起点收入集合 */    dist[S] = 0;    collected[S] = true;    while (1) {        /* V = 未被收录顶点中dist最小者 */        V = FindMinDist( Graph, dist, collected );        if ( V==ERROR ) /* 若这样的V不存在 */            break;      /* 算法结束 */        collected[V] = true;  /* 收录V */        for( W=0; W<Graph->Nv; W++ ) /* 对图中的每个顶点W */            /* 若W是V的邻接点并且未被收录 */            if ( collected[W]==false && Graph->G[V][W]<INFINITY ) {                if ( Graph->G[V][W]<0 ) /* 若有负边 */                    return false; /* 不能正确解决，返回错误标记 */                /* 若收录V使得dist[W]变小 */                if ( dist[V]+Graph->G[V][W] < dist[W] ) {                    dist[W] = dist[V]+Graph->G[V][W]; /* 更新dist[W] */                    path[W] = V; /* 更新S到W的路径 */                }            }    } /* while结束*/    return true; /* 算法执行完毕，返回正确标记 */}

7.1.4 多源最短路算法（Floyd算法）

Floyd算法

C语言实现

/* 邻接矩阵存储 - 多源最短路算法 */bool Floyd( MGraph Graph, WeightType D[][MaxVertexNum], Vertex path[][MaxVertexNum] ){    Vertex i, j, k;    /* 初始化 */    for ( i=0; i<Graph->Nv; i++ )        for( j=0; j<Graph->Nv; j++ ) {            D[i][j] = Graph->G[i][j];            path[i][j] = -1;        }    for( k=0; k<Graph->Nv; k++ )        for( i=0; i<Graph->Nv; i++ )            for( j=0; j<Graph->Nv; j++ )                if( D[i][k] + D[k][j] < D[i][j] ) {                    D[i][j] = D[i][k] + D[k][j];                    if ( i==j && D[i][j]<0 ) /* 若发现负值圈 */                        return false; /* 不能正确解决，返回错误标记 */                    path[i][j] = k;                }    return true; /* 算法执行完毕，返回正确标记 */}