【NOIP模拟考一】组合数学 day1 third 子集

【问题描述】

azui大爷在quack大爷的带领下开始玩集合了，可是他太懒了，不想做quack大爷布置的作业题，便拿来给你做了：

S 集合中有n个不同的元素，我们从1-n标号。考虑S 的子集Si,j，将这些子集排成一个r行c列矩阵的样子。

其中第一行为S1,1,S1,2,…,S1,c，第二行为S2,1,S2,2,..,S2,c一直到第r行为Sr,1, Sr,2,…, Sr,c。

这些集合还满足对于在一行中左右相邻的两个集右，左侧是右侧

的子集，即Si,j∈Si,j+1。

这些集合还满足对于在一列中上下相邻的两个集合，上方是下方

的子集，即Si,j∈Si+1,j。

问对于S 的全部子集，有多少可能的情况排成上述的矩阵（每个子集可以重复使用），结果模109 +7 输出。

你一定知道这么简单的题目怎么做，快帮帮azui大爷吧。

【输入格式】

一行三个数n,r,c.

【输出格式】

      一个数表示答案。

【样例输入】

1 2 2

【样例输出】

6

【样例解释】

1

2

3

4

如上图标号后，有：1是2和3的子集，1，2，3都是4的子集。

用0表示空集，1表示元素1，从左到右是1、2、3、4的话，有以下6种情况

0000 0001 0011 0101 0111 1111

 

【数据范围】

对于10%的数据，r*c*n <= 16

对于20%的数据，r*c <= 16, n <= 100

对于另20%的数据，r=1, c<=1000000

对于另10%的数据，n=1

对于100%的数据，r, c <= 1000000, n <= 10^9

    对这道题我是萌比的，于是考试的时候只能悄悄地去骗一骗子任务的分QWQ

    一号子任务显然是要让我们dfs不说了

    二号子任务其实是让我们先将n=1去dfs再n次方也不说了（这里的n次方思路是正解的一部分哦）

    三号子任务退化成一维后也不见得很简单，我们先尝试看看。由于不同元素之间并无交集，所以可以先将n等于1，再n次方也没有关系。那么我们观察，由于n=1了，所以要么是0，要么是1并且一定是一段0之后全是1，其实就有c+1种情况（0个1,1个，2个1...c个1），于是便是(c+1)^n并不困难。（这里是正解的一维版本哦）

    四号子任务可以DP。。。（当然好像还是是超时的）

    好了，研究了子任务后，我们来看看这与正解有何关联。首先必须将三号子任务扩展成二维，那么可以发现：每一种合法解都是呈现每一行的1个数逐渐递增，就像下面的图这样：可以发现，这个排列成了一条折线，于是便有了折线的生成：C(r+c,r)（由于两端开始点都不确定，所以不是C(r+c-2,r-1)）

    那么只需要用我们的组合数阶乘法就好了~代码如下：

//%>_<%#include<cstdio>#include<algorithm>#include<cstring>#include<cmath>using namespace std;#define ll long long#define mod 1000000007llll r,c,n,sum=1;ll ksm(ll a,ll k){if(!k)return 1;ll p=ksm(a,k/2);if(k&1)return p*p%mod*a%mod;return p*p%mod;}ll jc(ll a){ll ans=1;for(ll i=1;i<=a;i++)ans=ans*i%mod;return ans;}ll C(ll a,ll b){return jc(a)*ksm(jc(b),mod-2)%mod*ksm(jc(a-b),mod-2)%mod;}int main(){scanf("%lld%lld%lld",&n,&r,&c);if(c<r)swap(c,r);printf("%lld",ksm(C(r+c,r),n));}