牛客网《剑指Offer》 矩形覆盖

题目描述

我们可以用2*1的小矩形横着或者竖着去覆盖更大的矩形。请问用n个2*1的小矩形无重叠地覆盖一个2*n的大矩形，总共有多少种方法？

class Solution {public:    int rectCover(int number) {        if(number==0)return 0;        if(number==1)return 1;        if(number==2)return 2;        return rectCover(number-1)+rectCover(number-2);    }};

思路

和 跳台阶蛮像的，别人写的很好。

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public class Solution {

    publicint RectCover(inttarget) {

        if(target < 1) {

            return0;

        }else if(target == 1 || target == 2) {

            returntarget;

        }else {

            returnRectCover(target-1) + RectCover(target-2);

        }

    }

}

走过的弯路：

开始只是简单地将 n 分成奇、偶讨论，并将 2*2 作为基本单元。测试后通不过，代码就不贴出来献丑了。

思路分析：

痛定思痛，还是不能够贪小便宜。用归纳法归纳如下，

（1）当 n < 1时，显然不需要用2*1块覆盖，按照题目提示应该返回 0。

（2）当 n = 1时，只存在一种情况。

（3）当 n = 2时，存在两种情况。

（4）当 n = 3时，明显感觉到如果没有章法，思维难度比之前提升挺多的。

... 尝试归纳，本质上 n 覆盖方法种类都是对 n - 1 时的扩展。

可以明确，n 时必定有 n-1时原来方式与2*1的方块结合。也就是说, f(n) = f(n-1) + ?(暂时无法判断)。

（4）如果我们现在归纳 n = 4，应该是什么形式？

4.1）保持原来n = 3时内容，并扩展一个 2*1 方块，形式分别为 “| | | |”、“= | |”、“| = |”

4.2）新增加的2*1 方块与临近的2*1方块组成 2*2结构，然后可以变形成 “=”。于是 n = 4在原来n = 3基础上增加了"| | ="、“= =”。

再自己看看这多出来的两种形式，是不是只比n = 2多了“=”。其实这就是关键点所在...因为，只要2*1或1*2有相同的两个时，就会组成2*2形式，于是就又可以变形了。

所以，自然而然可以得出规律： f(n) = f(n-1) + f(n-2)， (n > 2)。

如果看了这一套理论还存在疑惑。可以尝试将题目改成1*3方块覆盖3*n、1*4方块覆盖4*n。

相应的结论应该是：

（1）1 * 3方块 覆 盖3*n区域：f(n) = f(n-1) + f(n - 3)， (n > 3)

（2） 1 *4 方块 覆盖4*n区域：f(n) = f(n-1) + f(n - 4)，(n > 4)

更一般的结论，如果用1*m的方块覆盖m*n区域，递推关系式为f(n) = f(n-1) + f(n-m)，(n > m)。