“玲珑杯”ACM比赛 Round #18 B -- 数论你还会快速幂【规律】

B -- 数论你还会快速幂

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DESCRIPTION

今天$HH$在学数论,他看到一个很优美的式子:

${\sum }_{i=1}^n{i}^{k}modp$

一向热衷于抱队友大腿的$HH$便问队友$ZZ$怎么做

$ZZ$:"$n,k$多大?"

$HH$:"${10}^5,{10}^5$"

$ZZ$:"快速幂嘛"

$HH$:"${10}^9,{10}^5$"

$ZZ$:"拉格朗日插值嘛"

$HH$:"${10}^{18},{10}^{18}$"

队友:"让我想想.."

INPUT

第一行是一个整数$T(1\le T\le 1000)$,表示有$T$组数据对于每组数据输入一行3个整数$n,k,p(1\le n\le {10}^{18},0\le k\le {10}^{18},1\le p\le {10}^{18},0\le n-p\le 100)$且模数$p$ 是质数,

OUTPUT

对于每组数据输出题目中的表达式的值

SAMPLE INPUT

2

5 2 3

7 2 3

SAMPLE OUTPUT

1

2

HINT

对于第一组样例我们有 $1^2+2^2+3^2+4^2+5^2=1\left(mod3\right)$对于第二组样例我们有$1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2=2\left(mod3\right)$

SOLUTION

“玲珑杯”ACM比赛 Round #18

通过打表能够找到规律：

①首先我们知道，i^k%p和（i+p）^k%p的价值是一样的。

那么肯定以长度p为循环节，是有循环内容的。

②当k不是p-1的倍数的时候，我们发现，每一段长度为p的内容加和%p都是0.

②当k是p-1的倍数的时候，我们发现，每一段长度为p的内容加和都是p-1.

那么按照这个规律写一下即可。

注意k==0的时候。

Ac代码：

#include<stdio.h>#include<string.h>using namespace std;#define ll long long intll n,p,k;ll kuaisucheng(ll a,ll b){    ll ans=0;    while(b)    {        if(b&1)        {            ans=(ans+a);            if(ans>=p)ans-=p;        }        a=(a+a);        if(a>=p)a-=p;        b/=2;    }    return ans;}ll kuaisumi(ll a,ll b){        a%=p;        ll ans=1;        while(b)        {            if(b&1)            {                ans=kuaisucheng(ans,a);            }            a=kuaisucheng(a,a);            b/=2;        }        return ans;}int main(){    int t;    scanf("%d",&t);    while(t--)    {        scanf("%lld%lld%lld",&n,&k,&p);        if(k==0)        {            printf("%lld\n",n%p);            continue;        }        ll sum=0;        if(k%(p-1)==0)        {            sum+=kuaisucheng((ll)n/p,p-1);            sum%=p;        }        n%=p;        for(ll i=1;i<=n;i++)        {            sum+=kuaisumi(i,k);            sum%=p;        }        printf("%lld\n",sum%p);    }}