“玲珑杯”ACM比赛 Round #18 C -- 图论你先敲完模板(dp)

题目：

C -- 图论你先敲完模板

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DESCRIPTION

今天$HH$在操场上跑步,$HH$作为一个爱运动的人,肯定会想方设法把跑步所消耗的能量减到最少.

现在这个操场上有$n$个可以休息的点,他们的坐标分别为$x_1,x_2...x_n(xi\le xi+1)$,$HH$刚开始在$x_1$ ,并且他只能在这些点休息,在中途不能停下来,否则会因为旁边的音浪太强而被晃到.

如果$HH$连续跑一段长度为$l$的距离,那么他将会消耗$2^l+a$的能量($a$为$HH$的可爱值)

现在给你这些点的坐标,请帮$HH$计算他跑到$x_n$点所需要消耗的能量最少是多少.

INPUT

第一行是一个整数$T(1\le T\le 10)$,表示有$T$组数据对于每组数据输入一行2个整数$n,a(1\le n\le {10}^5,1\le a\le {10}^6)$表示总共有$n$个休息点,$HH$的可爱值为$a$.接着一行$n$个数$x_1,x_2...,x_n(0\le x_i\le 3\times {10}^6,0\le x_{i+1}-x_i\le 30)$,表示点的位置.

OUTPUT

每组数据输出一行,一个整数,表示最小需要花费的体力

SAMPLE INPUT

23 23 5 73 103 5 7

SAMPLE OUTPUT

1226

HINT

对于第一组样例,最少的体力消耗是先从3跑到5,消耗6点体力,再从5跑到7,消耗6点体力,共12点 对于第二组样例,最少的体力消耗是直接从3跑到7,消耗26点体力.

SOLUTION

“玲珑杯”ACM比赛 Round #18

思路：

这题想了好久，终于明白了，我们要得到他消耗的最少的体力，那么就要上一个的状态和当前我们加上这个公式的状态，用dp[n]表示走到n点所花费的最小体力，可以写出一个状态转移方程：

dp[i]=min(dp[i],dp[j]+2^l+a)

我们想一下，由于数据特别大，这由是以指数形式递增，那么一直到后面，直接跑的体力消耗无疑是巨大的，所以最后肯定会分段，所以我们只推出前几十就好，后面的肯定不选它

附上官方题解：

D.图论你先敲完模板

首先我们可以想到一个简单的dp方程

$dp\left[i\right]=min\left(dp\right[j]+2^{dis\left[i\right]-dis\left[j\right]})+a$

1.然后我们发现这个$2^x$很快就会比$a$高到不知道哪里去,所以当这个距离超过一定值的时候肯定是分开

跑比较划算了,所以我们只需要枚举当前点前面的几十个点再转移一下就行了

2.我们也可以简单的推导一下发现这个$dp$方程是决策性单调的所以你懂的

代码：

#include <cstdio>#include <cstring>#include <cctype>#include <string>#include <set>#include <iostream>#include <stack>#include <cmath>#include <queue>#include <vector>#include <algorithm>#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))#define inf 1000000000000000000#define mod 1000007#define N 101000#define M 12357#define ll long longusing namespace std;ll a[N],dp[N];ll poww[150];void init(){poww[1]=1;for(ll i=2; i<=40; i++)poww[i]=poww[i-1]*2;}int main(){init();ll t,n,m;scanf("%lld",&t);while(t--){scanf("%lld%lld",&n,&m);for(ll i=1; i<=n; i++)scanf("%lld",&a[i]);dp[1]=0;for(ll i=2; i<=n; i++){dp[i]=inf;ll len=0;for(ll j=i-1; j>=1; j--){len+=a[j+1]-a[j];if(len<=40)dp[i]=min(dp[i],dp[j]+poww[len]*2+m);elsebreak;}}printf("%lld\n",dp[n]);}return 0;}