扩展欧几里得算法及其应用

贝祖等式：对于不完全为0的两个非负整数，a，b；gcd(a，b)表示这两个数的最大公约数，则必然存在整数x，y，使得gcd（a，b）=ax+by。

对于给定的符合条件的a，b；如何求出相应的x，y呢？

用扩展欧几里得算法解决该问题。

先给出代码实现，再分析算法原理：

代码一（较为简单，来源360百科）：

#include <iostream>using namespace std;int x,y,p;void Ep_gcd(int a,int b){    if(b==0)  {x=1;y=0;p=a;return;}    Ep_gcd(b,a%b);    int tem=x;    x=y;    y=tem-a/b*x;}int main(){    int a,b;    while(cin>>a>>b){            Ep_gcd(a,b);       cout<<"x is :"<<x<<"y is :"<<y<<endl;    }    return 0;}

代码二（较为精炼，来源百度百科）

#include <iostream>using namespace std;void Ep_gcd(int a,int b,int&d,int &x,int &y){    if(b==0) {d=a;x=1;y=0;return;}    Ep_gcd(b,a%b,d,y,x);    y-=a/b*x;}int main(){    int x,y,d,a,b;    while(cin>>a>>b){        Ep_gcd(a,b,d,x,y);        cout<<x<<' '<<y<<endl;    }    return 0;}

下面就来讲讲这个算法的实现原理：

由扩展欧几里得定理：

ax+by=gcd(a,b)；

由欧几里得定理可以知道gcd(a,b)=gcd(b,a%b)；

证：另r=a%b；则a=kb+r；

设d为a和b的公约数，则d|a，d|b；

由r=a-kb；则d|r。

设d为b和r的公约数，则d|b，d|r；

又a=kb+r；故d|a；

所以由上得到a，b，r的公约数相同，则他们的最大公约数也相同。

进一步分析：

由gcd(a,b)=gcd(b,a%b)得一下两个等式：

x1a+y1b=gcd(a,b);

x2b+y2a%b=gcd(b,a%b);

有x1a+y1b=x2b+y2a%b;

a%b=a-a/b*b;

化简得到x1a+y1b=y2a+b(x2-a/b*y2);

由系数对应关系得到：x1=y2;y1=x2-a/b*y2;

扩展欧几里得算法的应用：

问题：【直线上的点】 求直线ax+by+c=0上有多少个整点（x,y)满足x∈[x1,x2]，y∈[y1,y2]

分析：

首先我们可以利用扩展欧几里得算法得到ax+by=gcd(a,b)的一组解（x1,y1），那么思考一下其他解呢？

任取另外一组解（x2,y2），有ax1+by1=ax2+by2；变形得到a(x1-x2)=b(y2-y1)；

左右两边分别除以gcd(a,b)，令a`=a/gcd(a,b)，b`=b/gcd(a,b)；

即a`(x1-x2)=b`(y2-y1)；由于a`和b`互质，故而看ka`=(y2-y1)，kb`=(x1-x2)，其中k为任意整数。

则分别得到x2=x1-kb`，y2=y1+ka`；k可以取任意整数。

有了这样的结论，回到该问题，经过移项得到ax+by=-c；

可以推知如果-c是gcd(a,b)的整数倍时，则该方程有整数解，且设ax+by=gcd(a,b)的一组解为(x0,y0)；

则该方程的解为（x0*(-c)/g,y0*(-c)/g）；

否则该方程无整数解