扩展欧几里得算法及其应用
来源:互联网 发布:脸型与眉毛软件 编辑:程序博客网 时间:2024/05/19 14:20
欧几里得算法
欧几里德算法又称辗转相除法,用于计算两个整数a,b的最大公约数。基本算法:设a=qb+r,其中a,b,q,r都是整数,则gcd(a,b)=gcd(b,r),即gcd(a,b)=gcd(b,a%b)。 证明略去了。
基本代码实现:
1
int
gcd(
int
a,
int
b)
2
{
3
if
(b==0)
4
return
a;
5
return
6
gcd(b,a%b);
7
}
扩展欧几里得算法
扩展欧几里德算法是欧几里得算法的扩展。
已知整数a、b,扩展欧几里得算法可以在求得a、b的最大公约数的同时,能找到整数x、y(其中一个很可能是负数),使它们满足贝祖等式。有两个数a,b,对它们进行辗转相除法,可得它们的最大公约数——这是众所周知的。然后,收集辗转相除法中产生的式子,倒回去,可以得到ax+by=gcd(a,b)的整数解。
用类似辗转相除法,求二元一次不定方程47x+30y=1的整数解。
- 47=30*1+17
- 30=17*1+13
- 17=13*1+4
- 13=4*3+1
然后把它们改写成“余数等于”的形式
- 17=47*1+30*(-1) //式1
- 13=30*1+17*(-1) //式2
- 4=17*1+13*(-1) //式3
- 1=13*1+4*(-3)
然后把它们“倒回去”
- 1=13*1+4*(-3) //应用式3
- 1=13*1+[17*1+13*(-1)]*(-3)
- 1=13*4+17*(-3) //应用式2
- 1=[30*1+17*(-1)]*4+17*(-3)
- 1=30*4+17*(-7) //应用式1
- 1=30*4+[47*1+30*(-1)]*(-7)
- 1=30*11+47*(-7)
得解x=-7, y=11。
基本算法:对于不完全为 0 的非负整数 a,b,gcd(a,b)表示 a,b 的最大公约数,必然存在整数对 x,y ,使得 gcd(a,b)=ax+by。
01
证明:设 a>b。
02
03
推理1,显然当 b=0,gcd(a,b)=a。此时 x=1,y=0;
//推理1
04
05
推理2,ab!=0 时
06
07
设 ax1+by1=gcd(a,b);
08
09
bx2+(a mod b)y2=gcd(b,a mod b);
10
11
根据朴素的欧几里德原理有 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b);
12
13
则:ax1+by1=bx2+(a mod b)y2;
14
15
即:ax1+by1=bx2+(a-(a/b)*b)y2=ay2+bx2-(a/b)*by2;
16
17
根据恒等定理得:x1=y2; y1=x2-(a/b)*y2;
//推理2
18
19
这样我们就得到了求解 x1,y1 的方法:x1,y1 的值基于 x2,y2.
20
21
上面的思想是以递归定义的,因为 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0,所以递归可以结束。
扩展欧几里德的递归代码:
01
#include <iostream>
02
using
namespace
std;
03
04
int
exgcd(
int
a,
int
b,
int
& x,
int
& y){
05
if
(b == 0){
06
//根据上面的推理1,基本情况
07
x = 1;
08
y = 0;
09
return
a;
10
}
11
int
r = exgcd(b, a%b, x, y);
12
//根据推理2
13
int
t = y;
14
y = x - (a/b)*y;
15
x = t;
16
return
r;
17
}
18
19
int
main() {
20
int
x,y;
21
exgcd(47,30,x,y);
22
cout <<
"47x+30y=1 的一个整数解为: x="
<< x <<
", y="
<< y << endl;
23
return
0;
24
}
非递归实现,比上面的看上去要复杂了不少,不熟悉的话直接用上面的就可以:
01
int
exgcd(
int
m,
int
n,
int
&x,
int
&y)
02
{
03
int
x1,y1,x0,y0;
04
x0=1; y0=0;
05
x1=0; y1=1;
06
x=0; y=1;
07
int
r=m%n;
08
int
q=(m-r)/n;
09
while
(r)
10
{
11
x=x0-q*x1; y=y0-q*y1;
12
x0=x1; y0=y1;
13
x1=x; y1=y;
14
m=n; n=r; r=m%n;
15
q=(m-r)/n;
16
}
17
return
n;
18
}
扩展欧几里德算法的应用
(1)求解不定方程
用扩展欧几里得算法解不定方程ax+by=c;
这个应该比较好理解了,两个可以同乘以k
1
bool
linear_equation(
int
a,
int
b,
int
c,
int
&x,
int
&y)
2
{
3
int
d=exgcd(a,b,x,y);
4
if
(c%d)
5
return
false
;
6
int
k=c/d;
7
x*=k; y*=k;
//求得的只是其中一组解
8
return
true
;
9
}
(2)求解模线性方程(线性同余方程)
同余方程 ax≡b (mod n) (也就是 ax % n = b) 对于未知数 x 有解,当且仅当 gcd(a,n) | b (也就是 b % (gcd(a,n))==0 )。且方程有解时,方程有 gcd(a,n) 个解。
求解方程 ax≡b (mod n) 相当于求解方程 ax+ ny= b, (x, y为整数)
1
在方程 3x ≡ 2 (mod 6) 中, d = gcd(3,6) = 3 ,3 不整除 2,因此方程无解。
2
3
在方程 5x ≡ 2 (mod 6) 中, d = gcd(5,6) = 1,1 整除 2,因此方程在{0,1,2,3,4,5} 中恰有一个解: x=4。
证明略去,直接说算法:
首先看一个简单的例子:
5x=4(mod3)
解得x = 2,5,8,11,14…….
由此可以发现一个规律,就是解的间隔是3.
那么这个解的间隔是怎么决定的呢?
如果可以设法找到第一个解,并且求出解之间的间隔,那么就可以求出模的线性方程的解集了.
我们设解之间的间隔为dx.
那么有
a*x = b(mod n);
a*(x+dx) = b(mod n);
两式相减,得到:
a*dx(mod n)= 0;
也就是说a*dx就是a的倍数,同时也是n的倍数,即a*dx是a 和 n的公倍数.为了求出dx,我们应该求出a 和 n的最小公倍数,此时对应的dx是最小的.
设a 和 n的最大公约数为d,那么a 和 n 的最小公倍数为(a*n)/d.
即a*dx = a*n/d;
所以dx = n/d. (d = gcd(a,n) )
因此解之间的间隔就求出来了.
01
bool
modular_linear_equation(
int
a,
int
b,
int
n)
02
{
03
int
x,y,x0,i;
04
int
d=exgcd(a,n,x,y);
05
if
(b%d)
06
return
false
;
07
x0=x*(b/d)%n;
//特解
08
for
(i=1;i<d;i++)
09
printf
(
"%d\n"
,(x0+i*(n/d))%n);
10
return
true
;
11
}
(3)求解模的逆元;
同余方程ax≡b (mod n),如果 gcd(a,n)== 1,则方程只有唯一解。
在这种情况下,如果 b== 1,同余方程就是 ax=1 (mod n ),gcd(a,n)= 1。
这时称求出的 x 为 a 的对模 n 乘法的逆元。
对于同余方程 ax= 1(mod n ), gcd(a,n)= 1 的求解就是求解方程
ax+ ny= 1,x, y 为整数。这个可用扩展欧几里德算法求出,原同余方程的唯一解就是用扩展欧几里德算法得出的 x 。
练习题
青蛙的约会
参考:http://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%BA%BF%E6%80%A7%E5%90%8C%E4%BD%99%E6%96%B9%E7%A8%8B
http://www.cnblogs.com/frog112111/archive/2012/08/19/2646012.html
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