最长括号匹配——递推

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题目来源

洛谷P1944

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题目描述

对一个由(,),[,]括号组成的字符串，求出其中最长的括号匹配子串。具体来说，满足如下条件的字符串成为括号匹配的字符串：

1.(),[]是括号匹配的字符串。

2.若A是括号匹配的串，则(A),[A]是括号匹配的字符串。

3.若A,B是括号匹配的字符串，则AB也是括号匹配的字符串。

例如：(),[],([]),()()都是括号匹配的字符串，而](则不是。

字符串A的子串是指由A中连续若干个字符组成的字符串。

例如，A,B,C,ABC,CAB,ABCABCd都是ABCABC的子串。空串是任何字符串的子串。

输入输出格式

输入格式：
输入一行，为一个仅由()[]组成的非空字符串。

输出格式：
输出也仅有一行，为最长的括号匹配子串。若有相同长度的子串，输出位置靠前的子串。

输入输出样例

输入样例#1：
([(][()]]()
())[]

输出样例#1：
[()]
()

说明

【数据范围】

对20%的数据，字符串长度<=100.

对50%的数据，字符串长度<=10000.

对100%的数据，字符串长度<=1000000.

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解题报告

• 用 F[i] 表示以 i 为开始的最长匹配字符串的长度
• 从右至左遍历输入的字符
• 分两种情况讨论当前字符：
  
  • 如果 s[i] 为后括号 (s[i] 表示输入的第 i 位字符)，这种情况是最简单的，因为无论如何也不可能出现一个以后括号开头的合法匹配字符窜。
  • 如果 s[i] 为前括号，那么需要判断 s[i] 与其后的若干个字符串合在一起是否能够构成一个合法的匹配字符串：
    
    • 由于我们是从右至左遍历 s 数组，那么我们肯定已经得到 F[i + 1]，也就是说我们现在已经知道了 i 位置右侧最长的合法匹配字符串的长度，那么我们只需要判断位置为 i + F[i + 1] + 1 的字符是否与当前遍历到的字符相对应，如果恰好对应，那么 F[i] 的值既是 F[i + 1] + 2
    • 注意题目中第三个条件 (若A,B是括号匹配的字符串，则AB也是括号匹配的字符串)。可以想象成我们目前已经计算出 A 的长度，但是不确定是否存在一个合法的匹配字符串 B 使其构成 AB 这样的合法字符串，因此需要将 F[i] += F[i + F[i]]
• 现在我们已经的到了正确的 F[] 数组，下面我们只需要遍历一遍得到最靠左侧的最大值即可输出答案
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源代码

#include <iostream>#include <cstring>#include <cstdio>using namespace std;string data;int F[1000005]; // F[i] 表示的是以 i 开头的最长匹配的长度 int main() {    freopen("in.txt", "r", stdin);    data.resize(1000000);    scanf("%s", &data[0]);    int id = 0; // 最靠左侧的最长的匹配字符串的初始位置    for (int i = data.length() - 1; i >= 0; i--) {        if (data[i] == ')' || data[i] == ']') // 如果是后括号则不存在匹配字符串            continue;        if ((data[i + F[i + 1] + 1] == ')' && data[i] == '(') || (data[i + F[i + 1] + 1] == ']' && data[i] == '[')) { // 判断是否存在匹配字符串的情况            F[i] = F[i + 1] + 2; // 递推式            F[i] += F[i + F[i]]; // 判断是否存在 A 与 B 两个合法的匹配字符串构成 AB 的情况            if (F[i] >= F[id]) // 由于我们想要找出最靠左的最大值，所以这里要取等号                id = i;        }    }    for (int i = 0; i < F[id]; i++)        cout << data[id + i];    return 0;}