动态规划7：最长上升子序列LIS

题目：这是一个经典的LIS(即最长上升子序列)问题，请设计一个尽量优的解法求出序列的最长上升子序列的长度。给定一个序列A及它的长度n(长度小于等于500)，请返回LIS的长度。

样例：[1,4,2,5,3],5返回：3

思路：从前向后求出以index为终点的序列的最长递增子序列长度：

注意子序列并不要求连续，即子序列不等于连续子序列。例如1,4,2,5,3,8,6,9。里面的递增子序列有很多，1,4是递增子序列，1,4,5,8,9是递增子序列，4,5,8,9是递增子序列，4,5,6,9是递增子序列。

对于最长子序列，前面不应该有更小的元素，后面不应该有更大的元素。例如1,4,2,5然后考虑把3加上去后会最长递增子序列会发生怎样的变化，3加上后与前面比3更小的元素2构成了子序列，即对于以2为终点的序列，加上3后使得序列右增加了1，且此时序列的终点变成了3。于是思路是：

Index=0时maxLength=1;   【1】

Index=1时maxLength=2；  【1,4】

Index=2时maxLength=2；  【1,2】

Index=3时maxLength=3；  【1,4,5】【1,2,5】

Index=4时maxLength=3；  【1,2,3】

Index=5时maxLength=4；  【1,4,5,8】【1,2,5,8】【1,2,3,8】

Index=6时maxLength=4；  【1,4,5,6】【1,2,5,6】【1,2,3,6】

Index=7时maxLength=5；  【1,4,5,8,9】【1,2,5,8,9】【1,2,3,8,9】【1,4,5,6,9】【1,2,5,6,9】【1,2,3,6,9】

对于index，在求它的最长递增子序列时是先将arr[index]与之前的元素进行逐一比较，找出小于arr[index]的元素中maxLength最长的值，于是对于元素index，以它为终点的最长递增子序列长度就是在maxLength上+1，并将此结果保存在一个数组dp[index]中以便后面复用。

即从index=0开始逐一计算以arr[index]为最长递增序列终点的最长递增子序列长度，将其保存在dp[index]中，在计算后面任意一个index为终点的最长递增序列长度时，遍历前面的所有元素的maxLength，找出元素arr[i]<arr[index]的元素中的最大的maxLength值，将arr[index]加在这个序列上构成以arr[index]为终点的最长递增子序列，以此类推，当index到达结尾时所有子序列长度遍历结束，扫描整个数组dp[]里面的最大值就是最大递增子序列的长度（最后一个元素index并不一定是最长子序列的终点元素，即可能最长递增子序列 在一个序列的中间位置）

动态规划：

①创建动态规划数组保留每个计算结果，这里只需要一维数组dp[n];

②先计算dp[]中第一个位置的值，即dp[0]，即以arr[0]为终点的最长递增子序列的最大子序列长度是1；

③从前往后计算dp[]中的每一个位置的值；注意递推关系的使用；

④扫描dp[]，里面的最大值就是所求结果；

public class LongestIncreasingSubsequence {    public int getLIS(int[] A, int n) {        // write code here        if (A == null)            return 0;        int[] dp = new int[n];        dp[0] = 1;        int top = 0;        for (int i = 1; i < n; ++i) {            int max = 0;            for (int j = i - 1; j >= 0; --j) {                if (max < dp[j] && A[j] < A[i])                    max = dp[j];            }            dp[i] = max + 1;            if (top < dp[i])                top = dp[i];        }        return top;    }}