动态规划：最长上升子序列

转自:http://blog.csdn.net/chenwenshi/article/details/6027086

这篇博文讲得挺清楚的。

问题描述

一个数的序列bi，当b1 < b2 < ... < bS的时候，我们称这个序列是上升的。对于给定的一个序列(a1, a2, ..., aN)，我们可以得到一些上升的子序列(ai1, ai2, ..., aiK)，这里1 <= i1 < i2 < ... < iK <= N。比如，对于序列(1, 7, 3, 5, 9, 4, 8)，有它的一些上升子序列，如(1, 7), (3, 4, 8)等等。这些子序列中最长的长度是4，比如子序列(1, 3, 5, 8).

你的任务，就是对于给定的序列，求出最长上升子序列的长度。

解题思路

如何把这个问题分解成子问题呢？经过分析，发现 “求以ak（k=1, 2, 3…N）为终点的最长上升子序列的长度”是个好的子问题――这里把一个上升子序列中最右边的那个数，称为该子序列的“终点”。虽然这个子问题和原问题形式上并不完全一样，但是只要这N个子问题都解决了，那么这N个子问题的解中，最大的那个就是整个问题的解。

由上所述的子问题只和一个变量相关，就是数字的位置。因此序列中数的位置k 就是“状态”，而状态 k 对应的“值”，就是以ak做为“终点”的最长上升子序列的长度。这个问题的状态一共有N个。状态定义出来后，转移方程就不难想了。假定MaxLen (k)表示以ak做为“终点”的最长上升子序列的长度，那么：

MaxLen (1) = 1

MaxLen (k) = Max { MaxLen (i)：1<i < k 且 ai < ak且 k≠1 } + 1

这个状态转移方程的意思就是，MaxLen(k)的值，就是在ak左边，“终点”数值小于ak，且长度最大的那个上升子序列的长度再加1。因为ak左边任何“终点”小于ak的子序列，加上ak后就能形成一个更长的上升子序列。

实际实现的时候，可以不必编写递归函数，因为从 MaxLen(1)就能推算出MaxLen(2)，有了MaxLen(1)和MaxLen(2)就能推算出MaxLen(3)……

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1. #include <stdio.h>  
2. #define  MAX 1000  
3. int seq[MAX+10];  
4. int seqlen[MAX+10];  
5. int main()  
6. {  
7.     int i,j,k,N,max,maxlen=1;  
8.     for(i=1;i<=9;i++)  
9.         seqlen[i]=1;               //seqlen数组存以第i个数为终点的最长上升序列  
10.     scanf("%d",&N);  
11.     for(i=1;i<=N;i++)  
12.         scanf("%d",&seq[i]);       //seq数组保存序列数组  
13.     for (i=2;i<=N;i++)  
14.     {  
15.         max=0;  
16.         for (j=1;j<=i-1;j++)  
17.         {  
18.             if(seq[j]<seq[i]&&seqlen[j]>max)  //在前i-1个序列中，寻找以终点小于seq[i]的最长的子序列，即最优子状态  
19.                 max=seqlen[j];  
20.         }  
21.         seqlen[i]=max+1;  
22.         if(seqlen[i]>maxlen)           //seqlen中保存的是第i个数为终点的最长上升序列，找出这个数组中最大的值即为最优序列长度  
23.             maxlen=seqlen[i];  
24.     }  
25.     printf("%d/n",maxlen);  
26.     return 0;  
27. }