容斥简述

来源：互联网发布：下载淘宝2016新版本编辑：程序博客网时间：2024/05/12 10:43

先上容斥原理的百科定义

。。在计数时，必须注意没有重复，没有遗漏。为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。

。。（好吧我错了，不应该上这个的，额，那就再任性一点来个更抽象的）

公式

在概率论中，对于概率空间 $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ 中的事件A₁，……，A_n，

当n = 2时容斥原理的公式为：

P ( A 1 \cup A 2 ) = P ( A 1 ) + P ( A 2 ) - P ( A 1 \cap A 2 )

{\mathbb {P}}(A_{1}\cup A_{2})={\mathbb {P}}(A_{1})+{\mathbb {P}}(A_{2})-{\mathbb {P}}(A_{1}\cap A_{2}),

当n = 3时，公式为：

{\mathbb {P}}(A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3})={\mathbb {P}}(A_{1})+{\mathbb {P}}(A_{2})+{\mathbb {P}}(A_{3})-{\mathbb {P}}(A_{1}\cap A_{2})-{\mathbb {P}}(A_{1}\cap A_{3})-{\mathbb {P}}(A_{2}\cap A_{3})+{\mathbb {P}}(A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3})

一般地：

{\mathbb {P}}{\biggl (}\bigcup _{{i=1}}^{n}A_{i}{\biggr )}=\sum _{{i=1}}^{n}{\mathbb {P}}(A_{i})-\sum _{{i,j\,:\,i<j}}{\mathbb {P}}(A_{i}\cap A_{j})+\sum _{{i,j,k\,:\,i<j<k}}{\mathbb {P}}(A_{i}\cap A_{j}\cap A_{k})-\ \cdots \ +(-1)^{{n-1}}\,{\mathbb {P}}{\biggl (}\bigcap _{{i=1}}^{n}A_{i}{\biggr )},

也可以写成：

P ( ⋃ i = 1 n A i ) = \sum k = 1 n ( - 1 ) k - 1 \sum I \subset { 1 , \dots , n } | I | = k P ( A I ) ,

{\mathbb {P}}{\biggl (}\bigcup _{{i=1}}^{n}A_{i}{\biggr )}=\sum _{{k=1}}^{n}(-1)^{{k-1}}\sum _{{\scriptstyle I\subset \{1,\ldots ,n\} \atop \scriptstyle |I|=k}}{\mathbb {P}}(A_{I}),

不过我的理解是，也就是对于这个集合，求总数的时候，集合内数为奇则加，偶则减（关于证明略）

不过你可以用一个栗子来简单的理解（借用其他人博客）

举个例子，比如 k 的质因子有 2,3,5。那么2、3、5的倍数都不和 k 互质，另外还没有完，可能有重复的地方，比如6，既是2的倍数又是3的倍数，前面用 k/2 + k/3 的时候多减了，这个时候要加上 k / (2*3)。同理，10，15这一类数都应该加上。但是还有类似于30这样的数，它是2，3，5的倍数，减的时候又多减了。

然后我们会发现，出现奇数个数，就用加法，偶数个数用减法。

最后的式子是这样的：k / 2 + k / 3 + k / 5 - k / (2 * 3) - k / (3 * 5) - k / (2 * 5) + k / (2 * 3 * 5)

有点长，看一下容易发现我说的奇偶的规律。

对于每个数的选取可以将其转化成二进制的格式，有num个对应num位的二进制数（即2^num）每一位的1或者0 对应这个位置q[i]数的取或者不取，

用一个二重循环来确定取数与否，取哪几个数组合，每次在num个取，取数为奇则总数加，为偶则减

因此可以总结一下构成代码如下：

（一个用来求质因数的倍数的个数的模板）

long long  solve(int num){    long long ans=0;    for(long long i=1;i<((long long )1<<num);i++)//共有num个数可选    {        long long p=1; //求值        int cnt=0;//所取数 数目        for(long long  j=0;j<num;j++)           {            if(((long long)1<<j)&i)//核心部分，取与不取就在此            {                p*=q[j];                cnt++;            }        }            if(cnt&1)                ans+=n/p;            else                ans-=n/p;    }    return ans;}

如果不懂的话可以输出((long long)1<<j)&i 来看一看（&是按位与，同为1才为1）；

然后你就会发现每num个为一组，所有不为0的数表示此数取出进行组合，发现每组正好对应一种情况

真的奇妙

下面给一些不错的博客看看吧

1 这个比较长说的挺多点击打开链接

2 这个有很多容斥的题目点击打开链接

https://hrbust-acm-team.gitbooks.io/acm-book/content/combinatorics/rong_chi_yuan_li.html

阅读全文

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