动态规划(1)

什么是动态规划？
举例

这题十分经典，因为可以显示多种方法

暴力搜索方法


定义递归函数：int p1(arr,index,aim)，它的含义是如果用arr[index…N-1]这些面值的钱组成aim，返回总的方法数

public int coins1(int[] arr,int aim){       if(arr==null||arr.length||aim<0){          return 0;       }       renturn process1(arr,0,aim);}public int process1(int[] arr,int index,int aim){       int res=0;       if(index==arr.length){          res=aim==0?1:0;       }       else{          for(int i=0;arr[index]*i<=aim;i++){               res+=precess1(arr,index+1,aim-arr[index]*i);          }        } }

暴力搜索之所以暴力，是因为存在大量重复计算

记忆搜索方法

因为arr始终不变，下用p(index,aim)表示递归过程。

public int coins2(int[] arr,int aim){       if(arr==null||arr.length||aim<0){          return 0;       }       int[][] map=new int[arr.length][aim+1];       return process2(arr,0,aim,map);}public int process2(int[] arr,int index,int aim,int[][] map){       int res=0;       if(index==arr.length){          res=aim==0?1:0;       }       else{          int mapValue=0;          for(int i=0;arr[index]*i<=aim;i++){               mapValue=map[index+1][aim-arr[index]*i];               if(mapValue!=0){                  res+=mapValue==-1?0:mapValue;               }               else{                  res+=precess2(arr,index+1,aim-arr[index]*i,map);               }        } }map[index][aim]=res==0?-1:res;return res;}

二维数组map[i][j]的结果代表p(i,j)的返回结果

动态规划方法

1.第一列表示组成钱数为0的方法，因为只有一种，故全为1
2.第一行表示，只用arr[0]的方法，如图所示
3.除第一行第一列的其它位置，假设为dp[i][j]

什么是动态规划方法

所以动态规划可以获得进一步优化的可能。

例如该题：

这样化简，省去了之前的枚举过程

过去动态规划方法时间复杂度O(N*(aim^2))
化简后动态规划方法时间复杂度O(N*aim)

对经典动态规划问题，应直接写出动态规划，而不是利用暴力搜索推导。