NKOJ 3252 (CQOI 2015) 多项式（数学，高精度）

P3252【CQOI2015】多项式

问题描述

    在学习完二项式定理后，数学老师给出了一道题目：已知整数n,t和ak(0≤k≤n)，求bk(0≤k≤n)的表达式使得

    同学们很快算出了答案。见大家这么快就搞定了，老师便布置了一个更BT的作业：计算某个bk的具体数值！接着便在黑板上写下了n,t的数值，由于ak实在太多，不能全写在黑板上，老师只给出了一个ak的递推式，让学生自行计算  

    正在学习信息竞赛的你觉得这个作业实在不适合手工完成，便敲起了代码……

输入格式

    输入文件共三行，第一行为一个正整数n，第二行为一个非负整数t，第三行为一个非负整数m。

输出格式

    输出一行，为bm的值。

样例输入

3
2
2

样例输出

10536

提示

样例解释：    a0=1, a1=134, a2=1584, a3=1492。    b0=18541, b1=24374, b2=10536, b3=1492。    1492y^3 + 1584y^2 + 134y + 1 = 1492(y-2)^3 + 10536(y-2)^2 + 24374(y-2) + 18541。数据范围：    对于20%的数据，t=0。    对于另外30%的数据，n≤100000。    对于100%的数据，0<n≤10^3000，0≤t≤10000，0≤n-m≤5。

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根据pwj大佬提供的公式F(x)=∑nk=0akxk=∑nk=0bk(x−t)k
抄袭pwj大佬说的在x=t处泰勒展开F(x)=∑k=0nF(k)(t)k!(x−t)k
于是我们有bm=F(m) (t)m!
最后再根据pwj大佬所说F(m) (t)m!=∑n−mk=0(m+k    k)am+ktk
于是这道题就解决了。最后用高精度乱搞即可。（希望将来我能看懂上面的式子）
最后只能%%%pwj大佬。

代码

#include<stdio.h>#include<iostream>#include<algorithm>#include<cstring>#define ll long longusing namespace std;const ll mod=1e9;struct Big{    ll S[12345],T,cur;    void Input()    {        string s;cin>>s;ll i,t,l=s.length();        for(i=0;i<l;i++)        {            t=(l-i-1)/9;S[t]=S[t]*10+s[i]-48;            T=T*10+s[i]-48;T%=3388;        }        cur=(l-1)/9;while(cur>0&&S[cur]==0)cur--;    }    void Output()    {        printf("%lld",S[cur]);        ll i,k;        for(i=cur-1;i>=0;i--)        {            k=mod/10;            while(k>S[i])putchar('0'),k/=10;            if(k)printf("%lld",S[i]);        }    }    void add(ll k)    {        S[0]+=k;ll i=0;        while(S[i]>=mod)S[i+1]+=S[i]/mod,S[i++]%=mod;        if(S[cur+1])cur++;    }    void ADD(const Big& o)    {        ll i,r=max(o.cur,cur);        for(i=0;i<=r;i++)        {            S[i]+=o.S[i];            if(S[i]>=mod)S[i+1]+=S[i]/mod,S[i]%=mod;        }        cur=r+5;while(cur>0&&S[cur]==0)cur--;    }    void Multiply(const Big& o,Big& E)    {        ll i,j;memset(&E,0,sizeof(E));        for(i=0;i<=cur;i++)        for(j=0;j<=o.cur;j++)        {            E.S[i+j]+=S[i]*o.S[j];            if(E.S[i+j]>=mod)            {                E.S[i+j+1]+=E.S[i+j]/mod;                E.S[i+j]%=mod;            }        }        E.cur=cur+o.cur+5;        while(E.cur>0&&E.S[E.cur]==0)E.cur--;    }    void Divide(ll k)    {        for(ll i=cur;i>0;i--)        {            S[i-1]+=S[i]%k*mod;S[i]/=k;            if(S[cur]==0)cur--;        }        S[0]/=k;    }};Big N,M,C[12],t1,t2,t3,P[12],Ans;ll a,i,j,k,K;int main(){    N.Input();P[1].Input();M.Input();    K=N.T-M.T;if(K<0)K+=3388;    a=1;for(i=1;i<=M.T;i++)a=(1234*a+5678)%3389;    Ans.add(a);C[0].S[0]=1;    for(k=1;k<=K;k++)    {        M.add(1);        C[k-1].Multiply(M,C[k]);        C[k].Divide(k);        a=(a*1234+5678)%3389;        P[k].Multiply(P[1],P[k+1]);        t2.S[0]=a;        C[k].Multiply(t2,t1);        P[k].Multiply(t1,t3);        Ans.ADD(t3);    }    Ans.Output();}