约瑟夫问题，过程推理，递归

约瑟夫问题描述：已知n个人（以编号1，2，3...n分别表示）围坐在一张圆桌周围。从编号为k的人开始报数，数到m的那个人出列；他的下一个人又从1开始报数，数到m的那个人又出列；依此规律重复下去，直到圆桌周围的人全部出列，（来自百度百科）。一般题会让我们求出最后一个人几号；

先举一个简单的例子吧：  

                                                                           

如上图从1到10围城的圆圈，没个一个数去掉一个，问最后那个数被留了下来；

我们可以简单模拟一下期初先消去2，依次为：4,6,8,10,3,7,1,9，于是最后剩余了5号，

我们可以设T[n]表示当有n个数围城一个圈，最后剩余的那个数就是T[n]，然后我们开始模拟，推理。

先把n(1...10)给推出来吧：

         

可以看出来T[n]总是奇数，因为我们在绕第一圈的时候就已经把所有的偶数给去掉了，不信自己可以模拟一番，

既然第一轮去掉的都是偶数，那么我们可以利用这个结论，假如我们假设有2n个数，经过第一轮去掉之后，那么毋庸置疑就只剩下奇数了，那么3号就是第二轮的第一个要去掉的。而T[2n]又可以由T[n]这个过程推出来，2n的第二轮开始的数就相当于n的第一轮开始的数的二倍减一，依次类推我们可以得出：T[2n]=2T[n]-1;

我们可以根据这个推论快速推出T[20]=  2*T[10]-1  =  2x5-1  =  9;

但是我们并没有推出更为简单的结果，并不满意，我们根据找出来的这个规律再写出多一点例子：

乍一看，这么多数哪有什么鬼规律，其实仔细一看还是有的，有一个递增(d=2)的循环节数列，为了容易分辨请看下表，每组循环节我用不同的颜色给标记了：

神奇吧，然后我们再来推论，T[n](n->+oo)的情况；

我们要推出这个循环节出现的情况，然后对应每个单独的循环节求值，就简单了。

然后我们开始讨论循环节，(这里说循环节可能不合适，但是我没有找到一个合适的词语形容，大家知道我要表达的意思就好，怪我才疏学浅)，我们以n为例；

第一个循环节：1

第二个循环节：2,3

第三个循环节：4,5,6,7

第四个循环节：8,9,10,11,12,13,14,15

第五个循环节：16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31

.......

有没有发现，每个循环节都是以一个2的次方开始并且以一个2的次方减一结束，如:

第一个循环节是：[2^0,2^1),          (左闭右开哦)

第二个循环节是：[2^1,2^2),

第三个循环节是：[2^2,2^3),

......

第N个循环节是：[2^(N-1),2^N);

聪明的小伙伴想必现在已经有答案了，但是鄙人眼拙，还要做一下计算，回归一开始的T[n]；

那么现在当n=6时，我们可以直接找到开始的循环节是4，所以n=6是在本循环节的m=(6-4+1)=3位，再用等差数列求和公式即：T[6]=   d*(m-1)+1   =2*2+1=5;

同样的当n=100时，我们可以立刻求出，实在64循环节的（100-64+1）=37位，然后T[100]=2*36+1=73；

然后一般式就是：  T[n] = 2*(n-m)+1;(m可由上述的n=100或者n=6的出)

注：m要根据n来定，可以存一个数组，因为2的32次方已经超大了，所以不会影响时间复杂度；

那么现在这个问题已经解决了，但是关于这个问题还有一个更加神奇的推广(我从一本神奇的书上看到过)，有兴趣的小伙伴可以继续往下看：

在求解的过程中，我们发现2的幂起了很重要的作用，所以自然要来研究n和T[n]的以2为基数的表示即二进制。

然后经过一系列的转化......具体的过程我忘了，我只记住了结果，就是n的二进制，最高位的那个数放到最低位，比如n=6时，n=(110)₂，然后我们把最高位放到最后得n=(101)₂，然后再算二进制，1*2^2 + 0*2^1 + 1*2^0 = 5；

显然答案是对的，再举个例子吧，当n100时，n=(1100100)₂，然后最高位的1放在最后得：n  =  (1001001)₂；

最后结果经过计算得：64+8+1  =  73；   可以证明答案是对的，所以我们可以套上面的公式，也可以用二进制的方法求解；

也许你对上面的解释有疑问，就是为什么要把二进制的最高位放在最后呢，这个我也没法对你做出正规的解释，但是我又找到了另一个不改变最高位的方法，还拿n=6时为例吧，n=(110)₂ = 1*2^2 + 1*2^1 - 1*2^0 = 4 + 2 - 1 = 5；

再如：n=100时，n=(1100100)₂=2^6 + 2^5 - 2^4 - 2^3 + 2^2 - 2^1 - 2^0 =64+32-16-8+4-2-1 = 73;

这个结果是对的，也不需要进行二进制最高位的转换，所以我们可以得出T[n]结果就是n的对应二进制，位为1就加位为0就减，这个结果就很容易算出来了，虽然很神奇，但是我还是比较喜欢我的推出来的那个解法；

当然我相信约瑟夫还有后续，还有很长的路，但是我不能就此止步，去学更多新知识了；