Codeforces 340E 错排问题dp

题意：

题目链接：http://codeforces.com/problemset/problem/340/E
给出一串长度为n的序列a，将1~n填入序列中-1的位置，使得整个序列是一个1~n的排列，而且保证a[i]！=i，问一共有多少种构造方案。

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思路：

错排问题，这里有了限制条件，有些位置已经被数字填过。
这里将数字分成不同的类型：

1. 已经被用过的数不用考虑
2. 没有被用过的数，但自己的位置已经被占用，这种数为无限制数，因为可以填在任意-1的位置，这样的数有cnt2个
3. 没有被用过的数，而且自己的位置没有被占用，这种数为有限制数，它不能填在自己的位置上，这样的数有cnt1个

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那么先填有限制数，因为很显然无限制数可以填在任意-1位置，最后有限制的数的方案数乘上无限制数的全排列数即可。
设dp[i]为i个有限制的数填好满足条件的方案数，考虑第i个数：

1. 它可以填在任意无限制数的最终能填的位置上，错排数+1，从dp[i-1]转移过来，一共有cnt2个无限制数，所以方案数为cnt2
2. 若前i-1个数全部错排，那么它可以和这i-1个数的任意一个交换位置，构造出前i个数完全错排，从dp[i-1]转移过来，方案数为i-1
3. 若前i-1个数中有i-2个数完全错排，只有1个数排对，拿第i个数和这个排对的数交换，也可以构造出前i个数完全错排，这个排对的数有i-1种可能，因此方案数为i-1，从dp[i-2]转移过来

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因此状态转移方程为：
dp[i] = dp[i-1] * cnt2 + dp[i-1] * (i-1) + dp[i-2] * (i-1)

最后dp[cnt1] * f[cnt2]即为答案，其中f[cnt2]为cnt2的阶乘。

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代码：

#include <bits/stdc++.h>using namespace std;typedef long long LL;const LL MOD = 1e9 + 7;const int MAXN = 2005;LL dp[MAXN], f[MAXN];int a[MAXN], pos[MAXN], vis[MAXN];int main() {   // freopen("in.txt", "r", stdin);    int n;    scanf("%d", &n);    memset(pos, 0, sizeof(pos));    memset(vis, 0, sizeof(vis));    for (int i = 1; i <= n; i++) {        scanf("%d", &a[i]);        vis[a[i]] = 1;        if (a[i] == -1) continue;        pos[i] = 1;    }    f[0] = 1;    for (int i = 1; i <= n; i++) {        f[i] = f[i - 1] * i % MOD;    }    int cnt1 = 0, cnt2 = 0;    for (int i = 1; i <= n; i++) {        if (!vis[i]) {            if (!pos[i]) ++cnt1;            else ++cnt2;        }    }    dp[0] = 1;    for (int i = 1; i <= cnt1; i++) {        dp[i] = (dp[i] + dp[i - 1] * cnt2 % MOD) % MOD;        LL t = ((i - 1) % MOD + MOD) % MOD;        dp[i] = (dp[i] + dp[i - 1] * t % MOD) % MOD;        if (i >= 2) dp[i] = (dp[i] + dp[i - 2] * t % MOD);    }    printf("%I64d\n", dp[cnt1] * f[cnt2] % MOD);    return 0;}