codeforces 621E(dp, matrices)

来源：互联网发布：linux echo命令详解编辑：程序博客网时间：2024/06/08 11:37

题目大意：

输入4个数字, n, b, k, x;

有b数量的的 “包裹”，每个”包裹“中含有相同的n个数字，数字a的取值为 0 < a < 10; 从b数量的”包裹“中取出这些数字组成一个数字num；比如有 3个”包裹“，从左到右依次取出1， 2， 3; 则组成一个3位数 123; 现在让你求有多少个方案满足num % x== k ; 因为方案数可能很多，最后的结果取余1e9+7;

题目分析：

First, let us build an X by X matrix. We will be applying matrix exponentiation on this matrix. For each modulo value T from 0 to X — 1, and each value in the array with index i between 1 and n, we will do: matrix[T][(10 * T + arr[i]) % X]++. This is because, notice that for each block we allow one more way to go between a modulo value T, and (10 * T + arr[i]) % X. We are multiplying T by 10 because we are "left-shifting" the number in a way (i.e. changing 123 -> 1230), and then adding arr[i] to it. Notice that this basically simulates the concatenation that Wet Shark is conducting, without need of a brute force dp approach.

这是官方题解，我大致翻译一下：

建立一个x * x的矩阵 matrix，我们将使用矩求幂的方法完成（矩阵快速幂），对于每一个取余x后的值T，取值范围（ 0 < T < x-1 ），然后对于我们输入的数字（block中的n个值），我们将进行： matrix[T][(10*T+arr[i])%x]++; 这样做的原因是，表示从T 到达 (10*T+arr[i])%x 的方案数，建议参考代码； (10*T+arr[i])%x 是模拟两个数字的结合（因为题目要求取余结果，根据取余原则，%x即可);

#include <bits/stdc++.h>using namespace std;const int mod = 1e9+7;const int maxn = 100+5;int matrix[maxn][maxn], s[maxn][maxn];int n, b, k, x;int cnt[10], tmp[maxn][maxn];void mul(int a[][maxn], int b[][maxn]){    for(int i = 0; i < x; ++i){        for(int j = 0; j < x; ++j){            int t(0);            for(int k = 0; k < x; ++k){                t = (t+1LL*a[i][k]*b[k][j])%mod;            }            tmp[i][j] = t;        }    }    for(int i = 0; i < x; ++i)        for(int j = 0; j < x; ++j)            a[i][j] = tmp[i][j];}int main(){    while(~scanf("%d%d%d%d", &n, &b, &k, &x)){        for(int i = 0; i < n; ++i){            int x;            scanf("%d", &x);            cnt[x]++;        }        for(int i = 0; i < x; ++i)            for(int j = 0; j < 10; ++j){                matrix[i][(i*10+j)%x] += cnt[j];            }        for(int i = 0; i < x; ++i) s[i][i] = 1;        while(b){            if(b&1)                mul(s, matrix);            mul(matrix, matrix);            b /= 2;        }        printf("%d\n", s[0][k]);    }}

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