谈宽搜SPFA算法和深搜优化SPFA

本文参考了http://www.layz.net/LAOJ/suanfa/s9-4.html文章内容。

SPFA算法是西南交通大学段凡丁于1994年发表的，全称是Shortest Path Faster Algorithm，名符其实！很多时候，给定的图存在负权边，这时类似Dijkstra等算法便没有了用武之地，而Bellman-Ford算法的复杂度又过高，SPFA算法便派上用场了。有人称spfa算法是最短路的万能算法。
一、宽搜写SPFA
设立一个先进先出的队列q用来保存待优化的结点，优化时每次取出队首结点u，并且用u点当前的最短路径估计值对离开u点所指向的结点v进行松弛操作，如果v点的最短路径估计值有所调整，且v点不在当前的队列中，就将v点放入队尾。这样不断从队列中取出结点来进行松弛操作，直至队列空为止。
松弛操作的原理是著名的定理：“三角形两边之和大于第三边”，在信息学中我们叫它三角不等式。所谓对结点i,j进行松弛，就是判定是否dis[j]>dis[i]+w[i,j]，如果该式成立则将dis[j]减小到dis[i]+w[i,j]，否则不动。

和广搜bfs的区别：

SPFA 在形式上和广度(宽度)优先搜索非常类似，不同的是bfs中一个点出了队列就不可能重新进入队列，但是SPFA中一个点可能在出队列之后再次被放入队列，也就是一个点改进过其它的点之后，过了一段时间可能本身被改进(重新入队)，于是再次用来改进其它的点，这样反复迭代下去。

算法的描述：

void spfa(int s)//求单源点s到其它各顶点的最短距离{     memset(d,0x7f,sizeof(d));/初始化每点到s的距离    d[s]=0;    //将d[源点]设为0    q.push(s); //源点s入队列    isQueue[s] = true;    while(!q.empty())    {        int u=q.front();  //取队首节点        q.pop();    //队首出队        isQueue[u] = false;  //释放对u的标记，可以重新入队        for(int i = head[u]; i;i= Edge[i].next)  //对于与队首u相连的每一条边        {            int v = Edge[i].to;            int w = Edge[i].w;            if(d[v] > d[u] +w)//如果不满足三角形性质            {                d[v] = d[u]+w; //松弛d[i]                if(!isQueue[v]) //不在队列，则加入队列                {                    isQueue[v] = true;                    q.push(v);                }            }        }    }}

最短路径本身怎么输出？

在一个图中，我们仅仅知道结点A到结点E的最短路径长度，有时候还需要说明“怎么走”才算真正解决了问题。我们定义一个path[]数组，path[i]表示源点s到i的最短路程中，结点i之前的结点的编号(父结点)，我们在借助结点u对结点v松弛的同时，标记下path[v]=u，记录的工作就完成了。然后递归输出即可。

void printpath(int k){    if (path[k]!=0) printpath(path[k]);    cout << k << " ";}

二、深搜优化SPFA

  利用 spfa 算法判断负环有两种方法：  1） spfa 的 dfs 形式，判断条件是存在一点在一条路径上出现多次。  2） spfa 的 bfs 形式，判断条件是存在一点入队次数大于总顶点数。在上面的spfa标准算法2)中，每次更新（松弛）一个结点u时，如果该结点不在队列中，那么直接入队。 ***但是有负环时，上述算法的时间复杂度退化为O(nm)。*** 相比队列，深度优先搜索有着先天***优势***：***在环上走一圈，回到已遍历过的结点即有负环***。绝大多数情况下的时间复杂度为O(m)级别。  那我们试着使用深搜，核心思想为每次从更新一个结点v时，从该结点开始递归进行下一次迭代.

void dfsSPFA(int s){    if(flag == true)        return;    for(int i = head[s]; i;i= Edge[i].next)    {        int v = Edge[i].to;        int w = Edge[i].w;        if(d[v] > d[s] +w)        {            if(vis[v]){   //存在一点在一条路径上出现多次                 flag = true;                return;            }            d[v] = d[s]+w;            vis[v] = true;            dfsSPFA(v);            vis[v] = false;        }    } }