dp(笔记)

今天 浅浅看了一下dp；

首先01背包题目的雏形是

有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。

从这个题目中可以看出，01背包的特点就是：每种物品仅有一件，可以选择放或不放。

其状态转移方程是：

f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}

对于这方方程其实并不难理解，方程之中，现在需要放置的是第i件物品，这件物品的体积是c[i],价值是w[i],因此f[i-1][v]代表的就是不将这件物品放入背包，而f[i-1][v-c[i]]+w[i]则是代表将第i件放入背包之后的总价值，比较两者的价值，得出最大的价值存入现在的背包之中。

下面是书上的模板

    

#include <iostream>#include <queue>#include <cstdio>#include <cstring>#include <cstdlib>using namespace std;int w[102],v[102];int n,W;int dp[102][102];int rec(int i,int j){    if(dp[i][j]>=0)    {        return dp[i][j];    }    int res;    if(i==n)    {        res=0;    }    else if(j<w[i])    {        res=rec(i+1,j);    }    else {        res=max(rec(i+1,j),rec(i+1,j-w[i])+v[i]);    }    return dp[i][j]=res;}int main(){    cin >> n;    memset(dp,-1,sizeof(dp));    for(int i=0;i<n;i++)    {        cin >> w[i]>>v[i];    }    cin >> W;    cout << rec(0,W) << endl;}

时间负责度是O(n*W),所以当W想当大时，我们可以换一种DP，我们用DP针对不同重量限制计算最大的价值

#include <iostream>#include <algorithm>#include <cstdio>#include <cstring>#include <cmath>#define max_n  100#define max_v  100#define INF    1e9using namespace std;long long dp[max_n+1][max_n*max_v+1];int n;int w[max_n+1],v[max_n+1];long long W;int main() {    cin >> n;    for(int i=0;i<n;i++)    {        cin >> w[i] >> v[i];    }    cin >> W;    fill(dp[0],dp[0]+max_n*max_v+1,INF);    dp[0][0]=0;    for(int i=0; i<n; i++)        for(int j=0; j<=max_n*max_v; j++) {            if(j<v[i])                dp[i+1][j]=dp[i][j];            else                dp[i+1][j]=min(dp[i][j],dp[i][j-v[i]]+w[i]);            }               int res=0;    for(int i=0; i<=max_n*max_v; i++)        if(dp[n][i]<=W) res=i;    cout << res << endl;}