数理逻辑2 -- 量化理论2

上一节笔记给出了一阶逻辑语言的定义，本节笔记将要讨论一阶逻辑语言的满足性(satisfiability)与真假性(truth and falsity)。在讨论之前，必须再给出一些关键定义。

首先，一个好式子wf中的变量符号是有区别的，有的受限于全称量词∀，因此叫做“受限变量(bound variable)”，有的毫无限制，因而叫做“自由变量(free variable)”，它们的具体定义如下

定义2.5（变量的种类）：在一个好式子wf中， 当某个变量符号xi的出现要么是(∀xi)中的这个xi，要么它在自己∀xi的限制范围之内（即它出现如∀xiB的子wf中的B里面），我们就说这个变量符号xi的这次出现是受限的(It has a bound occurance)。如果某个变量符号xi的某次出现不是受限的，那我们就说它的这次出现是自由的(It has a free occurance)。

定义2.6 （变量的种类）: 在一个好式子wf中，如果某个变量符号xi存在至少一次自由出现（It has at least one free occurance），那么我们就说这个变量符号xi是自由变量(free variable)。如果它有至少一次受限出现，那么我们就说它是受限变量(bound variable)。

乍看之下，定义2.5和2.6也搞得人云里雾里，一会自由出现，一会自由变量。很多介绍数理逻辑的教科书，往往一上来就会从一阶逻辑语言讲起，一讲就会讲到“自由变量”的概念，看得人眼花，定力好的会坚持看下去，来回反复看，最终理解为什么要如此定义自由变量。定力不好的，直接就放弃了。

要通俗地理解“自由变量”也可以，其实它就是为了后续定义“满足性”时，可以对自由变量做任意替代。简单想想，如果一个变量xi不受任何全称量词∀限制，那么它就是可替代的，换成什么变量符号都行，都“肯定”不会影响谓词的正确性。但如定义2.5和2.6般那样说得云里雾里，自有它的道理，我们一步一步看吧。

同样，我们给一些例子来巩固一下“自由变量”的概念。
例子（自由变量）
比如好式子A(x1)⇒(∀x2)B(x1,x2)中，总共有4个变量符号出现(是的，∀x2这个东东中的x2也算出现了一次。)。注意，我们并不是说上述wf有4个变量符号。它只包含了两个变量符号，即x1，x2，但它们加起来一共出现了4次。在这4次出现中，我们从左到右一个个来看，第一个出现的x1，根据定义2.5，它是“自由出现”。第二个出现的x2是“受限出现”，因为它就在∀x2中。第三个出现的x1也是“自由出现”，它并没有被“自己受限”。第四个出现的“x_2”也是“受限出现”。

说完了“自由出现”与“受限出现”，再来看看什么是“自由变量”。上述wf只有两个变量，根据定义
2.6，x1有一次“自由出现”，所以x1就是自由变量。x2只有受限出现，所以它就是“受限变量”。

注意，一个变量可以即是自由变量，也是受限变量，比如A(x1,x2)⇒(∀x2)B(x1,x2)中的x2。

“自由出现”的定义是为了可以实现“变量替代”。
定义2.7（变量替代, substitution）：我们说，在一个wf中，变量替代的操作是指xj替代xi的某一次出现。我们也可以说，用xj替代xi的所有自由出现，或者xi的所有受限出现。

所以，当我们说“用某个变量代替另一个变量”时，指的是代替那个变量的某次出现。
例子
比如还是之前的例子A(x1)⇒(∀x2)B(x1,x2)，我们可以用x3替代x1所有的自由出现，也即变成了A(x3)⇒(∀x2)B(x3,x2)。当然，也可以用x2替代x1所有的自由出现，变成A(x2)⇒(∀x2)B(x1,x2)。我们发现A(x3)⇒(∀x2)B(x3,x2)， A(x2)⇒(∀x2)B(x2,x2)这两者并不是一回事。本来B的第一个变量是不受之前∀x2限制的，现在用x2替代后，就变成了受限制，所以变换后的wf就完全变了个意思。

现在大约可以看出定义2.5和2.6的良苦用心了，再次强调，“自由出现”的定义是为了可以实现“变量替代”。当然，既可以用一个变量替代另一个变量，也可以用一个项（term）替代另一个变量。在这种替代中，很显然为了保持“自由出现”的性质，代入的项不能引入原先没有的限制。也就是说，代入的项对被替代的对象是自由的。
定义2.8 (项代入的自由属性)：在一个好式子B中，如果xi是自由变量，我们说一个项t在B中对xi来说是自由的，或者通俗点讲，t不受xi限制，是指t中包含的变量符号，没有一个是限制xi的自由出现里的∀xj的xj。

定义2.8也说得绕来绕去，举个例子就能明白。
例子
还是之前的例子A(x1)⇒(∀x2)B(x1,x2)，x1是自由变量，它有两次自由出现。现在考虑这么个项f21(x2,x3)，这个项t包含两个变量x2、x3。定义2.8是说，x1的第二次自由出现受到了∀x2的约束，而t又含有x2这个变量，所以t就是“对x1不自由”，或者说，“t受x1限制”。为什么要这么定义呢？显然，你这时候拿t去代替x1的话，就会变成A(x1)⇒(∀x2)B(f21(x2,x3),x2)。这个新的wf和原来的wf就不是一回事了，因为原来的B(x1,x2)中的第一个输入不受∀x2限制，而变换后的B(f21(x2,x3),x2)就受∀x2限制了。

如果t是f21(x3,x4)，那么t就是不受x1限制的。甚至，t可以是f21(x1,x3)，也是不受x1限制的，只要不包含x2就行了。

定义2.8还有一层含义，即如果自由变量xi没有任何受限出现，那么就可以随意替代。

对了，讨论到现在，一直忘了如何处理诸如“某个”，“有的”这样的量词，这种量词叫作“存在量词”，用符号表示∃，即可以写(∃xi)B。我们没必要单独定义这个符号，就像∧,∨,⇔只是¬,⇒的缩写一样，∃也是一种缩写，即(∃xi)B是¬((∀xi)(¬B))的缩写（当然，它也符合我们的日常理解。）

做了这么多准备工作，就是为了要定义wf的“满足性（satisfiability）”。所谓wf的真假，其实是说定义域D中的某个序列，用它们替代变量之后，得出来的东西满足wf里面的那堆谓词关系，也就是wf里面的那些谓词符号B1,B2,...,，它们的输入项都映射到D中的某些元素后，再看这些元素是否在关系B1,B2,...中，然后再根据和命题演算系统类似的真假规则，判定这个wf的真假。

定义2.9（序列映射）：L是一个一阶逻辑语言，M是它的一个解释，D是相应的定义域，那么记∑为D中所有可数序列的集合（采用朴素理解即可）。对于∑中的一个可数序列s=(s1,s2,...,)，我们定义一个相应的函数s∗，使得L中的每个项t根据以下规则映射到D中的一个元素：

1. 如果t是变量xj，那么s∗(xj)映射到sj
2. 如果t是常量aj，那么s∗(aj)映射到aj在解释M中对应的那个固定元素。也即是说，aj对应的值与序列s无关。

3. 如果t是函数符号fnj，我们用(fnj)M表示这个函数符号在解释M中对应的函数，那么s∗(fnj(t1,t2,...,tn))映射到(fnj)M(s∗(t1),s∗(t2),...,s∗(tn))。也即是说，先把函数符号里的项通过s∗映射成D中元素，再根据D中对应的函数，映射成D中的另一个元素。

   通过定义2.9的序列映射，给定一个序列s，对于任意的wf，我们都可以把里面的项“变成”了定义域D中的元素，剩下判断wf的真假就成了判断每个谓词关系是否成立。

   定义2.10（满足性）：L是一个一阶逻辑语言，M是它的一个解释，D是相应的定义域，那么记∑为D中所有可数序列的集合。对于∑中的一个可数序列s=(s1,s2,...,)和一个好式子B，如果以下条件满足，我们就说s满足B：

   1. 如果B是一个原子wf，即仅是一个谓词符号Bnj(t1,t2,...,tn)，它对应解释M中的关系为(Bnj)M。那么，序列s满足B，当且仅当，(Bnj)M(s∗(t1),s∗(t2),...,s∗(tn))为真，即(s∗(t1),s∗(t2),...,s∗(tn))在关系(Bnj)M中。
   2. s满足¬B，当且仅当，s不满足B。
   3. s满足B⇒D，当且仅当，s不满足B或者s满足D。
   4. s满足(∀xi)B，当且仅当，每一个和序列s最多只在第i个位置不同的序列s′都满足B。

不要被定义2.10诸多的描述所吓到，通俗点说，要判断一个序列s是否满足B，首先把B中所有的项用s∗映射成D中的元素，然后再看关系B是否成立。剩下的判断准则，和命题演算系统中判断真假的规则类似，只是定义2.10的第4点对∀xi做了额外处理。它的意思也很简单，既然有∀xi，就是说“对于所有的x_i，B都成立”，所以当然要把每个第i个位置不同的序列都试一遍，都满足了，才叫满足了(∀xi)B成立。

定义了满足性，接下来就能定义真假性。
定义2.11（真假性）：：L是一个一阶逻辑语言，M是它的一个解释，D是相应的定义域，∑为D中所有可数序列的集合。我们说，
1. 一个好式子B为真，当且仅当，每一个∑中的序列都满足B。
2. 一个好式子B为假，当且仅当，没有∑中的序列能满足B。
3. M是一个好式子集合Γ的模型，当且仅当，每一个Γ中的好式子在M的解释下都为真。

根据定义2.11，对于一个解释M，可能存在有些好式子既不为真，也不为假。

定义玩到现在，下一节该玩点证明了。