继续一阶逻辑的性质。
(h) 如果一个好式子B含有自由变量xi1,xi2,...,xik，并且序列s和s′在第i1,i2,...,ik这些位置上的值相同。那么，s满足B，当且仅当，s′满足B。
注：这个性质看上去像废话，自由变量取值相同，当然得出结果就相同。但要严格证明，还是得下一番功夫。
证明：证明的技巧是基于连接符号与全称量词个数的归纳法。先证明一个引理。
引理2.13：如果一个项t中的变量是xi1,xi2,...,xik，并且序列s和s′在i1,i2,...,ik这些位置上有相同值。那么，s∗(t)=(s′)∗(t)
引理2.13的证明：由于t只包含三类符号，变量、常量、函数符号。所以在t的映射过程中，常量总是映射到固定的值。由于t只包含变量xi1,xi2,...,xik，在用序列s作映射的时候，xi1,xi2,...,xik对应的值分别是si1,si2,...,sik，而s′映射时对应的值分别是s′i1,s′i2,...,s′ik。由于s和s′在这些位置上的值相同，所以t在二者映射出来的值也相同。
引理2.13证毕
接着引进一个定义：对于一个序列s和一个好式子B，由于B包含若干项，我们称这些项通过序列s映射到定义域的过程为B基于s的取值
继续(h)的证明，我们采用基于连接符号与全称量词总个数的归纳法。
h.1 当B是原子wf时，根据引理2.13，B基于s和s′的取值总是相同。所以，如果s满足B，则s′满足B′，反之亦然。因此s满足B，当且仅当，s′满足B。
h.2 假设B包含的连接符号和全称量词总个数为n−1时，性质成立。我们考虑n的情况：
h.2.1 B是¬D的形式。根据归纳假设，s满足D，当且仅当，s′满足D。所以，若s满足B，则s不满足D，进而s′不满足D，所以s′满足B。若s′满足B，同理可得s满足B。所以，s满足B，当且仅当，s′满足B。
h.2.2 B是C⇒D的形式。如果s满足B，若s不满足C，则s′也不满足C（归纳假设）,所以s′满足B。若s满足D，则s′也满足D，所以s满足B。反之，若s′满足B，同理可得s满足B。所以，s满足B，当且仅当，s′满足B。
h.2.3 B 是(∀xj)D的形式。此时D中的自由变量顶多就是xi1,xi2,...,xik和xj（无论xj是否在xi1,xi2,...,xik中）。如果s满足B，那么任一与s最多在j位置取值不同的序列都满足D。对于任一与s′最多在j位置取值不同的序列r′，都存在一个序列r，使得r与s最多只在j位置取值不同，同时r与r′在i1,i2,...,ik和j位置取值相同。这里的关键就是要证明r′满足D。因为D中的连接符号与全称量词个数都小于n，所以根据归纳假设，r满足D，当且仅当，r′满足D（因为D顶多含有xi1,xi2,...,xik和xj这些自由变量）。因此，s′满足B。反之，如果s′满足B，同理可得s满足B。
证毕
(i) 如果B是一个闭合的好式子，即B中不包含自由变量，那么对于任一解释M，要么⊨MB，或者⊨M¬B。
证明：利用上述(h)的性质，如果一个好式子B如果包含k个自由变量xi1,xi2,...,xik，那么序列s和s′至少在i1,i2,...,ik这k个位置取值相同，则s满足B，当且仅当，s′满足B。特别的，k=0时，性质也成立，也即B不包含自由变量时，任意s和s′都满足性质(h)。所以，对于任一解释M，如果某个序列s满足B，那么根据(h)，所有序列都会满足B。如果某个序列s不满足B，则s满足¬B，那么所有序列都会满足¬B。
证毕
(j) 假设项t在B(xi)中对xi自由，则(∀xi)B(xi)⇒B(t)对任一解释都为真。
注：B(xi)是指xi在B中是自由变量。B(t)是指用项t替代B中xi所有的自由出现。
证明：我们只需证明对任一序列（任一解释）s，如果s满足(∀xi)B(xi)，那么s也满足B(t)。
我们需要两个引理：
引理2.14：t和u是两个项，s是一个序列。项t′由如下方式产生：把t中所有出现的xi都替换成u。序列s′由如下方式产生：s中i位置的值换成s∗(u)。那么，s∗(t′)=(s′)∗(t)。
引理2.14证明： 我们先定义任一项t的长度：t的长度是t中常量符号、变量符号与函数符号的个数之和。所以，如果t是常量或者变量，则t的长度为1。如果t是f(x)，它包含一个函数符号和一个变量符号，则它的长度为2。如果t是f1(1,x1,f2(x2,x3,x4))，则t的长度为7。
(2.14.1)当t的长度为1时，不难证明性质成立。
(2.14.2)当t的长度为2时，它一定是由一个函数符号f和一个常量或变量符号t组成，基于(2.14.1)，也不难证明性质成立。
(2.14.3)假设t的长度为n−1时性质成立，那么当t的长度为n>2时，它一定是诸如fk(t1,t2,...,tk)的形式，而且ti,i=1,2,...,k这些项的长度都小于n。根据归纳假设，性质对ti成立，所以不难证明，性质对t也成立。
引理2.14证毕
引理2.15：如果t在B(xi)中对xi自由，那么给定一个序列s=(s1,s2,...)，序列s′由以下方式产生：把序列s中i位置的取值替换成s∗(t)。那么，s满足B(t)，当且仅当，s′满足B(xi)。
引理2.15证明：同样，我们用基于连接符号和全称量词个数的归纳法。
(2.15.1) 当B是原子wf，即D(u1,u2,...,uk)的形式，其中ui,i=1,2,...,k是项。那么，记项t取代变量xi后的项ui为u′i。根据上述引理2.14，可得s∗(u′i)=(s′)∗(ui)。所以，D(t)基于s的取值与D(xi)基于s′的取值相同。因此，s满足D(t)，当且仅当，s′满足D(xi)。
(2.15.2) 当B是¬D的形式，根据归纳假设，性质对D成立，不难证明性质也对B成立。
(2.15.3) 当B是C⇒D，不难证明性质成立。
(2.15.4) 当B是(∀xj)D(xi)的形式，
(2.15.4.1) 若xj就是xi，那么xi在B中就不是自由变量，所以此时用t取代xi的所有自由出现即是什么都不做，B(t)也仅是B(xi)。由于s和s′仅在i位置取值不同，所以根据性质(h)，只要xi不是自由变量，无论B包含多少自由变量，都有s满足B，当且仅当，s′满足B。
(2.15.4.2) 若xj不是xi。因为t对xi自由，因此t中肯定不包含变量xj。现在，如果s满足B(t)，记任一与s最多在j位置不同的序列集合为S。那么，若r∈S，则r满足D(t)。接着，我们记与s′最多只在j位置取值不同的序列集合为S′。对于r′∈S′，我们总能在S中找到一个序列r，使得r和r′在j位置取值相同。由于r∈S，所以r和s只在j位置取值不同。接下来我们要证明r′满足D(xi)，为此，由于r满足D(t)，要想借用归纳假设，只需证明r′在i位置的取值是r∗(t)即可。现在r′在i位置的取值是s∗(t)，注意到t中不包含变量xj，而r和s仅在j位置取值不同，所以很容易得到$$r^{}(t) = $s^{}(t)。因此，r’满足D(x_i)，进而s’满足B(x_i)$。
反之，如果s′满足B(xi)，采用同样的方法定义集合S′和集合S。对于任一r∈S，总能找到一个r′∈S′，使得r和r′在j位置取值相同。同样的，我们只需证明r满足B(t)。要想用归纳假设，只需证明r′在i位置的取值是r∗(t)，这和上面的证明过程是一样的。
引理2.15证毕
我们继续性质(j)的证明。如果序列s满足(∀xi)B(xi)，我们要证明s满足B(t)。
(j.1) xi在B中没有自由出现。此时B(t)就是B(xi)，s当然满足B(t)。
(j.2) xi在B中有自由出现，那么我们如下产生序列s′：把s中i位置的值替换成s∗(t)。因为s′与s仅在i位置取值不同，所以s′满足B(xi)。根据引理2.15，s也满足B(t)。
证毕
性质(h)很重要，更深刻地理解为什么要定义自由变量，为什么替换变量的过程中只能替换自由出现。在性质(h)中，为什么t一定要对xi自由呢？如果一个项t对xi不自由，性质(h)也成立吗？当然不成立，性质(h)的证明过程中引理2.15的证明利用了t对xi自由的条件。如果t对xi不自由，我们很容易构造一个反例。
考虑B是A1(x1)⇒(∀x2)A2(x1,x2)，其中一个解释的定义域为自然数，A1的解释是{1}，A2的解释是(1,1),(1,2),...，即第二个元素是任一自然数。现在，考虑项t为x2。那么，t对x1是不自由的，因为A2中自由出现的x1被x2限制了。用t取代B就得到A1(x2)⇒(∀x2)A2(x2,x2)，记为B(t)。现在，考虑序列s=(1,2,...)。显然，它满足(∀x1)B，但它不满足B(t)。
继续讨论一阶逻辑满足性的最后一个性质。
(k) 如果xi在B中没有自由出现，则(∀xi)(B⇒D)⇒(B⇒(∀xi)D)对任一解释为真。
证明：只需证明对任一序列s（任一解释），如果s满足(∀xi)(B⇒D)，则s也满足(B⇒(∀xi)D)。更进一步，我们只需证明如果s满足(∀xi)(B⇒D)和B，则s也满足(∀xi)D。
因为s满足(∀xi)(B⇒D)，所以任一与s最多在i位置取值不同的序列r满足(B⇒D)。若要证明s满足(∀xi)D，只需证明r满足D即可，也即证明r满足B即可。
而且xi在B中没有自由出现，根据性质(h)，由于s和r只在i位置取值不同，所以不管B有没有包含其它自由变量，我们都可以得出, s满足B，当且仅当，r满足B。既然s满足B，所以r也满足B。
证毕
这11个性质(a)-(k)是为了搞清楚好式子的满足性，使之能和命题演算系统的真假性做些关联。弄清楚这些性质之后，就可以建立类似系统L的一阶逻辑公理系统了。
