数理逻辑2 -- 量化理论5

接下来我们要建立类似命题演算里系统L那样的一阶逻辑公理系统。

先看一些定义。

定义2.16: B，D是好式子，Γ是一个好式子的集合，

1. B是逻辑有效的(logically valid)，当且仅当，B对所有解释为真。
2. B是可满足的(satisfiable)，当且仅当，至少存在一个解释，其中至少有一个序列满足B。
3. Γ是可满足的，当且仅当，至少存在一个解释，其中至少有一个序列满足Γ中的所有好式子。
4. B是矛盾的(contradictory)，当且仅当，B对所有解释为假，即¬B是逻辑有效的。
5. B逻辑蕴涵(logically imply)D，当且仅当，对于任一解释，其中任一序列s，如果s满足B，那么s也满足D。
6. D是Γ的逻辑后承(logical consequece)，当且仅当，对于任一解释，其中任一序列s，如果s满足Γ中的任一好式子，那么s也满足D。
7. B和D是逻辑等价(logically equivalent)，当且仅当，B和D相互逻辑蕴涵对方。

根据定义2.16，我们很容易得到以下命题。

命题2.16

1. B逻辑蕴涵D，当且仅当，B⇒D逻辑有效。
2. B和D逻辑等价，当且仅当，B⇔D逻辑有效。
3. 如果B逻辑蕴涵D，并且B对某个解释为真，那么D对同样的解释也为真。
4. 如果B是集合Γ的逻辑后承，并且Γ中所有好式子对某个解释为真，那么D对同样的解释也为真。

接着，我们介绍一阶逻辑理论。和命题演算中的公理系统类似，一个一阶逻辑理论K包含以下要素：
1. 一阶逻辑语言；
2. 公理，分为逻辑公理（logical axiom）和特有公理（proper axiom）；
3. 推导规则（rule of inference）

特有公理是我自己这么翻译的，没看过中文教材，实在不知道该怎么翻译proper axiom，看意思就是每个一阶逻辑理论有自己特有的proper axiom，所以干脆就叫作特有公理。

一阶逻辑理论K的逻辑公理也是“几套”公理（axiom scheme），如下：
(A1) B⇒(D⇒B)
(A2) (B⇒(C⇒D))⇒((B⇒C)⇒(B⇒D))
(A3) (¬B⇒¬D)⇒((¬B⇒D)⇒B)
(A4) (∀xi)B(xi)⇒B(t)，当t在B中对xi自由。特别的，如果t就是xi，那么(∀xi)B⇒B。
(A5) (∀xi)(B⇒D)⇒(B⇒(∀xi)D)，当xi在B中没有自由出现。

上述(A1)-(A3)和系统L的形式是一样的，增加的(A4)(A5)是特定针对全称量词的公理。注意(A4)(A5)的形式，和性质(j)(k)一样的，这下明白为什么要证明这些性质了吧！

特定公理无法明确，每个理论都有自己的特定公理。

推导规则有两个：
1. 跟系统L一样的Modus Ponens，简称MP：B和B⇒D导出D。
2. 泛化规则(Generalization)，简称Gen：B导出(∀xi)B。

如果在一个解释M中，所有的公理（包括特定公理）都为真，那么M就称为理论K的一个模型。由一阶逻辑系统的性质可知，如果前提为真，那么推导规则导出来的好式子也为真，因此理论K中的每个定理都会为真。

有了一阶理论，自然要研究它的性质。之后的很多符号含义与系统L类似，比如⊢之类的。

命题2.17：每个永真式的实例B都是定理，它仅通过(A1)-(A3)和MP即可获证。
证明：采用性质(g)中构造wf的方式，不难证明。
证毕

命题2.18：每个一阶谓词演算（first-order predicate calculus）的定理都逻辑有效。
注：一阶谓词演算，即指包含(A1)-(A5)逻辑公理的一阶理论。
证明：首先，(A1)-(A3)都是永真式的形式，根据性质(g)，它们对任何解释为真，所以它们都逻辑有效。其次，(A4)(A5)分别根据性质(j)(k)可知它们都逻辑有效。再根据性质(c)和(f)，可知MP和Gen保持真假性，因此由MP和Gen导出的定理，也都逻辑有效。
证毕

一阶逻辑很重要的就是理论的一致性。
定义2.19（一致性）：如果不存在B，使得B和¬B都在K中获证，就称K是一致的(consistent)。否则，就称K是不一致的。

推论2.20：任何一阶命题演算理论都是一致的。

系统L有方便好用的演绎定理，同样，一阶理论也有演绎定理，但不能直接搬过来，要变一下。

定义2.21：Γ是一个wf集合，B是Γ中的元素。给定一个证明D1,D2,...,Dn，我们说Di依赖B，当且仅当，

1. Di就是B；
2. Di由MP或者Gen规则导出，参与导出的wf依赖B。

定义2.21很好理解，直观理解即可。

引理2.22：如果Γ,B⊢D，并且D不依赖于B，那么Γ⊢D。
可采用基于序列长度的归纳法来证明，但这里就不证了，直观想想也不难。

命题2.23（演绎定理）：如果Γ,B⊢D的证明过程用到Gen规则，那么若参与Gen规则的好式子Di依赖于B，但运用Gen规则时的量词变量不是B中的自由变量，则Γ⊢B⇒D。
注：这描述说得云里雾里，举个例子如下：证明序列为D1,D2,...,D100，其中某一步，比如D50用了Gen规则，如(∀xj)D50，从而得到某个Di,i>50。如果D50很不走运，它依赖B，但只要变量xj不是B中的自由变量，就万事大吉了。通俗点说，不要把B中的自由变量经过Gen规则变成不自由的，就Ok了。
证明：还是老技巧，用归纳法。
记证明序列为D1,D2,...,Dn，其中Dn就是D。我们用归纳法证明Γ⊢B⇒Di,i≥1。
当i=1时，D1要么是公理，要么是B，要么是Γ中的wf，这三种情况都不难得出Γ⊢B⇒D1。
当i>1时，如果Di是公理，或者B，或者Γ中的wf，那么同上面一样可得出结论。如果Di是由Dj和Dj⇒Di用MP规则导出，那么根据归纳假设B⇒(Dj⇒Di)，连同公理(A2)和MP可得(B⇒Dj)⇒(B⇒Di)。又因为B⇒Dj（归纳假设）,运用MP可得B⇒Di。最后，如果Di是由某个Dj运用Gen规则导出，即Di是(∀xk)Dj的形式，根据假设，要么Dj不依赖B，要么xk在B中没有自由出现。若Dj不依赖B，根据引理2.22可得Γ⊢Dj，再根据Gen规则可得Γ⊢(∀xk)Dj，即Γ⊢Di，再用公理(A1)和MP规则，可得Γ⊢B⇒Di。若Dj依赖B，但xk在B中没有自由出现，那么就可以根据公理(A5)，得到(∀xk)(B⇒Dj)⇒(B⇒(∀xk)Dj)。根据归纳假设，已知Γ⊢Dj，所以根据公理(A1)和MP，可得Γ⊢B⇒Dj，再根据Gen，可得Γ⊢(∀xk)(B⇒Dj)。所以，结合(A5)和MP，可得ΓB⇒(∀xk)Dj，而(∀xk)Dj正是Di，所以Γ⊢B⇒Di。
证毕

演绎定理的条件说得很拗口，因此以下特例作为推论很好用。
推论2.24：如果Γ,B⊢D的证明过程中没用Gen，或者用Gen时的量词变量在B中没有自由出现，那么Γ⊢B⇒D。特别的，若B是闭合wf，即B不含自由变量，则Γ⊢B⇒D。

接下来弄点定理巩固下这些概念。
定理2.25：
(a) ⊢(∀x)(B⇒D)⇒((∀x)B⇒(∀x)D)。
证明：
1. (∀x)(B⇒D)， 假设
2. (∀x)(B⇒D)⇒(B⇒D)， (A4)
3. B⇒D， 由1，2，MP
4. (∀x)B，假设
5. B, 由4，(A4)和MP
6. D，由3，5和MP
7. (∀x)D，6和Gen
证毕
上述证明过程到第7步时，严格来说只证明了(∀x)(B⇒D)⊢(∀x)B⇒(∀x)D。证明最后一步的时候其实是用了这么个性质：如果Γ,B,C⊢D，并且通过演绎定理得到Γ,B⊢C⇒D。那么，如果在这个过程中用到Gen规则导出D时用到的量词变量，都不是B的自由变量，那么Γ,B⊢C⇒D的证明过程，也不会因Gen规则而使用B的自由变量作量词变量，因此得出Γ⊢B⇒(C⇒D)。如果B没有自由变量，就放心使用。这个性质，今后也会作为演绎定理的一部分，证明过程中注意点就行了。

(b) ⊢(∀x)(B⇒D)⇒((∃x)B⇒(∃x)D)
证明：
1. B⇒D，由假设，(A4)和MP
2. ¬D⇒¬B，由1、定理(B⇒D)⇒(¬D⇒¬B)(永真式都是定理，命题2.17)和MP。
3. (∀x)(¬D⇒¬B)，由2和Gen
4. (∀x)¬D⇒(∀x)¬B，由4、定理2.25a和MP
5. ¬(∀x)¬B⇒¬(∀x)¬D，再用一次步骤2的方法
证毕

(c) ⊢(∀x)(B∧D)⇔((∀x)B∧(∀x)D)
证明：要依赖一个引理：⊢(∀x)B⇒(∃x)B。这个不难证，
1. (∀x)¬B⇒¬B，(A4)
2. B⇒¬(∀x)¬B，由1、定理和MP，¬(∀x)¬B即是(∃x)B
3. (∀x)B⇒B，(A4)
4. (∀x)B⇒(∃x)B，由2，3，然后重复系统L“传递规则”的证明即可

有了这个引理后，分两步证
c.1 证⊢(∀x)(B∧D)⇒((∀x)B∧(∀x)D)
1. (∀x)(B∧D)⇒¬(∀x)¬(B∧D)，引理
2. (∀x)(B∧D)⇒¬(∀x)(B⇒¬D)，展开1的缩写后，然后用传递规则
3. ¬(∀x)(B⇒¬D)⇒¬((∀x)B⇒(∀x)¬D)，定理2.25a
4. (∀x)¬D⇒¬(∀x)D，引理
5. ¬(∀x)(B⇒¬D)⇒¬((∀x)B⇒¬(∀x)D)，由3，4，和一堆传递规则和定理，再加MP，这里就不详细展开了
6. ¬(∀x)(B⇒¬D)⇒((∀x)B∧(∀x)D)，步骤5的缩写形式
7. (∀x)¬(B⇒¬D)⇒((∀x)B∧(∀x)D)，由6、和引理，再加传递规则
8. (∀x)(B∧D)⇒((∀x)B∧(∀x)D)，7的缩写

c.2 证⊢((∀x)B∧(∀x)D)⇒(∀x)(B∧D)
1. (∀x)(B⇒¬D)⇒((∀x)B⇒(∀x)¬D)，定理2.25a
2. ¬((∀x)B⇒¬(∀x)D)⇒¬(∀x)(B⇒¬D)，由1、一堆定理，和采用c.1同样的技巧（¬和∀x位置对调）
3. ((∀x)B∧(∀x)D)⇒(∀x)(B∧D)，2的缩写
证毕

(d) ⊢(∀y1)(∀y2)...(∀yn)B⇒B
不难证明，不写了。

(e) ⊢¬(∀x)B⇒(∃x)¬B
证明：
1. ¬¬B⇒B，定理（所有永真式都是定理）
2. (∀x)(¬¬B⇒B)， 由1、Gen
3. (∀x)¬¬B⇒(∀x)B，由2、定理2.25a，和MP
4. ¬(∀x)B⇒¬(∀x)¬¬B，由3、定理、和MP，¬(∀x)¬¬B也即缩写为(∃x)¬B
证毕

证明过程中经常要用一些经过公理和MP、Gen得出来的“规则”，以下总结了这些规则（很多名字是我瞎翻译的），相当于证明技巧。

1. 特例规则(Particularization Rule A4)： (∀x)B(x)⊢B(t)，当t对x自由。
2. 存在规则(Existential Rule E4)：若t在B(x,t)中对x自由，B(t,t)是用t替代B(x,t)中所有自由出现的x而产生，那么B(t,t)⊢(∃x)B(x,t)。
3. 否定消除(Negation Elimination)：¬¬B⊢B。
4. 否定引入(Negation Introduciton)：B⊢¬¬B。
5. 合取消除(Conjunction Elimination)：B∧D⊢B、B∧D⊢D、¬(B∧D)⊢¬B∨¬D。
6. 合取引入(Conjunction Introduction)：B,D⊢B∧D。
7. 析取消除(Disjunction Elimination)：B∨D,¬B⊢D、 B∨D,¬D⊢B、¬(B∨D)⊢¬B∧¬D、B⇒D,C⇒D,B∨C⊢D。
8. 析取引入(Disjunction Introduction)：B⊢B∨D、D⊢B∨D。
9. 条件消除(Conditional Elimination)：B⇒D,¬D⊢¬B、B⇒¬D,D⊢¬B、¬B⇒D,¬D⊢B、¬B⇒¬D,D⊢B、¬(B⇒D)⊢B、¬(B⇒D)⊢¬D。
10. 条件引入(Conditional Introduction)：B,¬D⊢¬(B⇒D)。
11. 条件逆否(Conditional Contrapositive)：B⇒D⊢¬D⇒¬B、¬D⇒¬B⊢B⇒D。
12. 双条件消除(Biconditional Elimination)：B⇔D,B⊢D、B⇔D,¬B⊢¬D、B⇔D,D⊢B、B⇔D,¬D⊢¬B、B⇔D⊢B⇒D、B⇔D⊢D⇒B。
13. 双条件引入(Biconditional Introduction)：B⇒D,D⇒B⊢B⇔D。
14. 双条件否定(Biconditional Negation)：B⇔D⊢¬B⇔¬D、¬B⇔¬D⊢B⇔D。
15. 反证法(Proof by Contradiction)：如果Γ,¬B⊢D∧¬D的证明过程中没用Gen，或者用Gen时的量词变量在B中没有自由出现，那么Γ⊢B。

这些规则都跟我们的“数学常识”相符，到目前为止的所有笔记，只是漫长之路的开端，或者用丘吉尔的话讲，end of start。